アットランダム≒ブリコラージュ

729

問題729












































解答

・uchinyanさんのもの Orz〜

量ることのできる重さは，３進法で 0 と 1 とを使った数
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, ...
です。ところがこの並びは２進法で 1 から順番に自然数を並べたものです。
199 番目は，199 を２進法で表した 11000111 なので，
その重さは３進法に読み替えて，
11000111 -> 3^7 + 3^6 + 3^2 + 3^1 + 3^0 = 2187 + 729 + 9 + 3 + 1 = 2929 g
になります。

気付けば簡単ですよね ^^v

728

問題728

あるビルの３階と４階を結ぶ上りのエスカレーターがあり、エスカレーターの段数は[ ア ]段です。
ぴー君が３階からエスカレーターに乗ると同時に、かー君が４階からエスカレーターを１段ずつ歩いて下り始めました。ぴー君はじっとしています。かー君は常に同じペースで休むことなく歩いてエスカレーターを１往復半します。
かー君がはじめてぴー君と出会った地点は、４階から数えて[ イ ]段目の場所でした。
また、かー君が３階にはじめて着いたあと、２０段歩いたところではじめてぴー君を追い越しました。それは４階から数えて３５段目の場所でした。
そして、かー君がまだ４階に着いていないぴー君と２回目に出会ってから５２段歩いたところで、かー君は３階に着きました。

[ ア ]，[ イ ]にあてはまる値をそれぞれ求めなさい。







































解答

いまんとこ分からない。。。^^;

722''

問題722の解答の続きです。。。^^v・・・算チャレ掲示板から

・dobaさんのもの Orz〜

一応、今までの検討の流れを整理しておくと、
基本的にやろうとしているのは、
「ルーローの四面体を２つの平行な平面α，βで挟む（どちらとも接し、交わらないようにする）時、
αβ間の距離は１より小さくならない」 ことの検証です。

これを、この立体と各平面との接し方で場合分けして考えています。

前回やったのは、
「少なくとも片方の平面と、エッジや頂点以外の曲面で接する場合」と
「両方の平面と、頂点で接する場合」についての検討です。
これらを除外することで、あとは、
「少なくとも片方の平面と、頂点以外のエッジで接する場合」について検討すればよいことになります。

#30848で、この「少なくとも片方の平面と、頂点以外のエッジで接する場合」について述べています。
ここでは、まず、α，βが直線になり、なおかつ分かりやすい図になるような投影の仕方を工夫して、
あとは実際に図を書いてみた上での考え方を示しています。

直線ＣＤ方向から見た図をまず書いて、それを直線ＣＤを軸に回転させながら、
正三角形ＰＣＤを含む面γへの投影を考えています。
ただ、「Ａを中心とした半径１の球面」と「エッジＣＤ＝Ｍを中心とした半径√3/2の円周」の
関係については、非常に微妙なので、半径１のボールに半径√3/2の輪ゴムを貼り付けて回転させる
ことをイメージして検討してます。

左がγへの投影で、右がＡＢＮを通る平面への投影です。
３つある一番上が、接点Ｐが丁度Ｅと一致する時で、
一番下がＰがＡと重なる時です。
（実際には、ＰがＡに限りなく近いがＡとは異なるエッジＡＢ上の点となる場合までが議論の対象です。）

赤の実線で示したのは球面がルーローの四面体の輪郭として見えている所で、
青の実線で示したのは、エッジです。
緑の実線は、核となっている正四面体です。
また、赤の点線は、頂点Ａを中心とする半径１の球面で、
青の点線は、エッジＣＤを含む、点Ｍを中心とする半径√3/2の円周です。
（なお、エッジＡＢとエッジＣＤ以外のエッジは、輪郭には出現しないので、図から省略しています。）

青の点線で示した円周は、赤の点線が輪郭となる球面に張り付いています。

γへの投影上での赤の点線の円（以下、赤の円）と青の点線の楕円（以下、青の楕円）の関係ですが、

30°回転した所（中段の図）では、両者は１点で接しています。（接点はエッジＣＤの真ん中）
図ではほとんど差が見えませんが、γへの投影において、
赤の円は、点Ｃ，Ｄを通っていないことに注意して下さい。
ＰとＣ，ＰとＤの距離は１ですが、点Ａの投影は点Ｐから(2√3-√6-1)/4＝0.0036…だけ下に離れているので、
赤の円も、Ｃ，Ｄより下を通ります。
この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、青の楕円（エッジＣＤ）です。

Ｐ＝Ａの時点（下段の図）では、両者は２点で接しています。（接点はＣとＤ）
非常にわかりにくいですが、交わっているのではなく、接していることに注意して下さい。
（青の点線の円が赤の点線の球面に張り付いているので、投影が交わることはありえません。）
この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、赤の円です。

問題は、中段の図と下段の図の間の状態ですが、両者はＣとＤの途中の２点で接しています。
投影上の輪郭を形成するのは、その２点間では赤の円、外側では青の楕円となります。

この図で我々が検討しないといけないのは、
点ＰがＥからＡまで移動する間に、γへの投影上でのＣＤ間の輪郭が、
点Ｐを中心とする半径１の円周（すなわち、ルーローの三角形ＰＤＣの輪郭）よりも
常に外側にあるかということです。
（この点Ｐを中心とする半径１の円周（以下円Ｐ）は、図には書いていません。差が細かすぎて書けません（苦笑））

上段図から中段図の間では、円Ｐと青の楕円は２点ＣＤのみで交わり、
ＣＤ間では楕円の方が下側にあることがすぐ確認できるので、問題ありません。
したがって、全ての厄介事は、中段図と下段図の間の微妙な領域に全て含まれることになります。

中段の図の状態でも、円Ｐは、青の楕円と２点ＣＤのみで交わっており、円Ｐの方が内側にあります。

その後、下段の状態に至るまでの途中のどこかのポイントで、
円Ｐと青の楕円は２点ＣＤで交わる他に、ＣＤの真ん中の１点で接します。

そこから、下段の状態に至る途中では、円Ｐと青の楕円は、
２点ＣＤと、その間のさらに２点の計４点で交わります。
この時、この４点を順にＣ，Ｘ，Ｙ，Ｄとし、
さらに青の楕円と赤の円の接点をＣに近い方からＺ，Ｗとすると、
赤の円の方が円Ｐよりも外側にあることから、青の楕円上での並び順は
Ｃ→Ｚ→Ｘ→Ｙ→Ｗ→Ｄとなるはずです。
ＸＹ間では青の楕円は円Ｐの内側に入ってしまいますが、
実際にはＺ，Ｗ間で輪郭として現れているのは赤の円の方なので、
立体の投影のＣＤ間の輪郭が、円Ｐの内側に入り込むことはありません。

以上で、（計算して確認しないといけない部分を補えば）
点ＰがエッジＥＡ上（点Ａを除く）にある時は、γへの投影上で
ルーローの四面体の輪郭は、ルーローの三角形の外側に常に存在することが
わかります。

なお、γへの投影上で、Ｎを原点として、Ｍの座標を(0,t)と置くと、
赤の円：x^2 + (y-t-√(1-2t^2)/2)^2 = 1
青の楕円：(4/3)x^2 + (2/3t^2)(y-t)^2 = 1
円Ｐ：x^2 + (y-√3/2)^2 = 1
となり、
上段図：t=√2/2
中段図：t=√6/4
下段図：t=√3/3
です。

すみません、#30833についての訂正をしておくのを忘れてました。
結果的にこの(2)と(4)が言えなくはないですが、実は、これを分けて議論する
必要はなくなっています。つまり、#30885の図で、

(*) 接点のうちの片方が(II)のとき、α，β間の距離は１以上であることを示す

ことが出来るので、これと(1),(3)で証明完となります。
ちなみに、(4)については(*)から自動的に言えますが、(2)については
γへの投影図における輪郭を形成するＣＤ間の曲線の、点Ｃ、点Ｄにおける
方向ベクトルを調べることで、点Ｐにおけるαの可動範囲のどこであっても
βが点Ｃないし点Ｄで接することはないことが言えると思います。
（αとβは投影図上では直線になっています。）

この図形は、たしかにかなりイメージしづらいですよね。私の基本的なイメージは
次のようなものです。

#30885の図の一番上で、球Ａと球Ｂが重なっている状態を考えます。
その重複部分の「どら焼き型」がイメージできたら、エッジＣＤを含む
青の点線がそのどら焼き型のエッジとして見えてくるはずです。
この重複部分を、以下「どら焼きＡＢ」と呼びます。
そして、球Ａの輪郭である赤の点線と青の点線の組合せにより、
どら焼きＡＢの半分のドーム型がイメージできるかと思います。

同様にして、球Ｃと球Ｄの重複部分のどら焼き型（以下「どら焼きＣＤ」）を
イメージします。エッジＡＢはどら焼きＣＤのエッジの一部となります。

ルーローの四面体は、この２つのどら焼き型の重複部分となります。

今回の図は、線分ＣＤを固定して、これを軸に回転させているので、
実はどら焼きＣＤは固定されています。
つまり、この一連の図は、どら焼きＣＤを固定して、
どら焼きＡＢを直線ＣＤを軸に回転させ、両者の重複部分を見る、
ということをやっているわけです。
左側のγへの投影では、ＰＤ間、ＰＣ間の輪郭はどちらもどら焼きＣＤの輪郭であり
固定されています。一方、ＣＤ間の輪郭は、必ずどら焼きＡＢの輪郭となっています。

なお、一番イメージしづらいのは、やはりＣＤ間の輪郭の形状の変遷と、
それと円Ｐの比較の部分だと思います。
30°回転の状態からＰ＝Ａの状態までの間の、赤の円、青の楕円、円Ｐの関係が
どのように変化するかを少し誇張して書いた図を用意してみました。
オレンジ色の曲線が円Ｐ相当で固定。（この両端がＣとＤのつもりです。）
赤色の曲線が赤の円相当で、円Ｐと同じ形で少し下に離れた状態から
徐々に円Ｐに近づいていきます。
青色の曲線が青の楕円相当で、常にＣ，Ｄを通り、ｙ軸方向のサイズが徐々に
縮んでいきます。
図の上から順に(a)〜(e)とすると、各曲線の関係は次のように推移します。
(a) オレンジと青は、両端のみで交わる
　　青と赤は、真ん中の１点で接する
(b) オレンジと青は、両端のみで交わる
　　青と赤は、２点で接する
(c) オレンジと青は、両端で交わり、かつ、真ん中の１点で接する
　　青と赤は、２点で接する
(d) オレンジと青は、両端および途中の２点の計４点で交わる
　　青と赤は、２点で接する
(e) オレンジと青は、両端で接する
　　青と赤は、両端で接する（赤とオレンジは一致する）
見づらいので，このオレンジと青の関係、青と赤の関係だけを抜き出したのが
この図です。また、実際のＣＤ間の輪郭は、青と赤が接する２点間では赤で、それ以外は青なので、
この輪郭とオレンジの関係を示したのが 図のようになります。
図の中段が、(a)に相当し、下段が(e)に相当します。
図では赤の円と青の楕円はＣＤ間ではほとんど一致しているようにしか見えませんが、
実際には中段から下段までの微妙な変化の中で、この両者および円Ｐの関係は
このように細かく変化しています。

どら焼きＡＢに着目してもう一度よく考えてみたら、
ＣＤ間の曲線の変遷について、あまり細かい議論をする必要はなさそうですね。

どら焼きＡＢから見た円Ｐの軌跡、すなわち、
Ａを中心としてＣ，Ｄを通る半径１の円周における弧ＣＤを
直線ＣＤを軸に回転させてできる曲面が、
どら焼きＡＢからはみ出すことはないことを示せば、
γへの投影で、どら焼きＡＢの輪郭の投影である曲線ＣＤから円Ｐが
はみ出すことはないのは明らかです。

上記回転体がどら焼きＡＢからはみ出さないことは、
球Ａと球Ｂについてそれぞれ議論すれば簡単に言えますね。

長々とこの話題にこだわってしまい、すみません。
そろそろ私の方は終わりにします。


剛力dobaさん、ありがとうございます〜^^v

727

問題727










































解答

・わたしの

a=b^3/3=c^2/5
5b^3=3c^2
b=3*5*m
c=3*5*n
5*3^3*5^3*m^3=3*3^2*5^2*n^2
5^2*m^3=n^2
n=5*t
m^3=t^2
明らかに t=1 のときが一番小さい。
2番目は、t=2^3 のとき。n=5*2^3,c=3*5*5*2^3=2^3*3*5^2
5a=c^2=2^6*3^2*5^4
a=2^6*3^2*5^3=64*9*125=72000

・uchinyanさんのもの Orz〜

3a = b^3, 5a = c^2 より，b は 3 の倍数 b = 3m，c は 5 の倍数 c = 5n です。
そこで，a = 9 * m^3 = 3^2 * m^3. a = 5 * n^2 です。
これから，a は 5 の倍数で， m は 5 の倍数 m = 5k です。
つまり，a = 5 * (3 * 5 * k)^2 * k で，n^2 = (3 * 5 * k)^2 * k です。
したがって，k は平方数です。
２番目を求めるので，k = 2^2 = 4 になり，
a = 5 * (3 * 5 * 4)^2 * 4 = 9 * 20^3 = 9 * 8000 = 72000 です。

ま、同じようなものですが、、、少しばかり華麗ですかね ^^

満月アラカルト

http://www5.ocn.ne.jp/~sanai/column/08ookami.html　より Orz〜

「狼男と月の重力加速度 8

ヨーロッパでは昔から、月光を浴びると狂人になるという言い伝えがあるそうです。狼男は満月の夜、狼の姿に変身し悪行三昧をするのです。「月」luna(ルナ）は、lunatic「気がふれる、狂人」という意味だそうです。同じく、moon(ムーン）も辞書を見ると、moon struck「気がふれる、昔、月の霊気の影響とされた」とあります。
ある研究によれば、放火や殺人事件の統計をとると、満月と新月の日に多いと発表しています。日本でもテレビでおなじみ、気象協会の森田さんは、火災や交通事故は満月、新月の前後に多いという話をされています。月光を浴びることのない新月にも、何かかがおこるということは、月光だけの原因ではなさそうです。月光以外で月が地球に与える影響として考えられるのは重力に違いありません。「月の霊気の影響」とは、重力の変化と関係があるのではないでしょうか？。
海の満ち引き、瀬戸内海の激しい潮の流れは地球の自転と月と太陽の引力による影響です。月の引力が地球に及ぼす莫大なエネルギーは海水と海底の摩擦により、熱エネルギーに変換され、そのかわり、月は慣性エネルギーを奪われ、地球から徐々に遠ざかっています。
しかし、私たちはこのような地球や宇宙の変化を全く自覚することなく、日常の生活を営んでいます。ところが、神話、昔話、迷信のなかには、満月、新月に関わる話が多く伝えられ、ある種の動物は月との関連が、かなり分かっている（海亀の産卵と潮の関係）ものもあります。月が地球に及ぼす重力の変化とは、どの程度のものなのか、地球上の生物、生命に影響を与えるだけのはっきりとした変化の値なのかを知りたくなります。・・・
人間の心臓のかわりに、ポンプで血液を一定の速度で循環させても、人は生きることができない、という話を聞いたことがあります。心臓と同じように、一定のリズムで鼓動させないと血液凝固が起こるというのです。人の網膜は投影された像が常に網膜に対して僅かに動いていないと、脳はその像を見ることができません。網膜は光そのものではなく、光の変化を捉えて像を認識しています。コンデンサという電気部品がありますが、これは電位が変化する時にしか働きません。リズムのある流れのなかで生きています。
生命はすべて、なにかの波動、リズムに支配されているように思います。「絶対値」ではなく、「変化する」という事に重大な意味があるのではないでしょうか。そしてこのリズムをつくりだした張本人！こそ、「月」の引力ではないかと感じました。」

あとわたしが知ってるのは、、、ウミガメも蟹の産卵（昔テレビで陸上を移動するカニの大集団を見た記憶があります。。。）もたしか満月の夜に行われるんだったような。。。
命の乱舞、カーニバル。。。
人の月経も1ヶ月周期だよね。だから「月」経って命名されてんだろうし。
昔友人から聞いた話では、、、そもそも、月がなくては海でうまれた生物が陸上への進化、一種の相転移みたいなことは起こらなかった。生物は自ら望んで上陸を試みた、冒険したんじゃなくって、潮の満ち欠けによって陸上に取り残されるっていう環境の変化に嫌が応にも適応せざるをえなかった。外圧によるものだったんだって教えてもらったのを覚えてます。命の母なる海でうまれた生命の端くれである人間にもその記憶が28日という月経周期として残ってるんでしょうね。
満月の日は、大潮（満潮？）になってるんですよね？普段は陸上だったところが浅瀬になって、大型の生物はやって来にくいし（安全）、夜に活動するんだったら満月の夜が一番明るいってことがあるんじゃないのかな。

http://prodivecairns.jp/spawning.htm　より Orz〜

「珊瑚の産卵 - リーフ上のセックス　予想通り予測不可能

毎年発生する珊瑚の乱舞?グレートバリアリーフで同時発生する珊瑚の大量産卵が初めて科学的に観測されたのは1981年のことでした。それを見るために11月−12月にリブアボード・クルーズでナイトダイブをする価値は十分にあります。珊瑚の産卵は今や国際的な研究のため注目を集めていますが、自然には予測不可能な部分もあるのです. ・・・
産卵のプロセスが始まるのは、珊瑚の卵子と精子がポリプの中で形成され始める6ヶ月前からです。産卵が発生するためには海水の温度が27度以上でなければなりません。また、珊瑚の卵子と精子を海中に同時放出するための特別なキュー(合図)が必要になります。その合図が11月の満月であり、満月後ニ夜から六夜目の間にほとんどの珊瑚が産卵を行います。2004年の珊瑚の産卵は12月1日前後に発生すると予想されています（前後数日の誤差有り）・・・
産卵は潮の動きが最小限になる時期とタイミングを合わせます。そうすることで、流されてしまう前に同種の珊瑚からのパートナーと混ざり、交配することができるのです。年によっては、珊瑚産卵の時期が場所によってずれることがあり、浅く温かい近海リーフでは11月に産卵が起こり、海温の低いアウターリーフでは12月に産卵が発生します。
珊瑚は受精の機会を増やすために、一斉に産卵しようとします。また、一斉産卵によって捕食動物の食欲を圧倒することもできます。幼生（プラヌラ）は海流に流されて新たなリーフを形成します。」

なるほどそういうこともあるのか。。。^^


画像：アカテガニの産卵
http://members.jcom.home.ne.jp/k-kawashima/message22.htm　より Orz〜
「アカテガニは満月の夜、海辺に集まり、海に入り体を震わせると、卵がかえりゾエア幼生が大海原に送り出されます。」

*以下のサイトもいろんなことが載ってますね♪
http://www12.plala.or.jp/m-light/