アットランダム≒ブリコラージュ

683

問題683（水の流れさん http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html Orz〜）

問題１：５０ｎ円を５０円硬貨、１０円硬貨に両替する方法は何通りあるか。ｎで表せ。
問題２：１００ｎ円を、１００円硬貨、５０円硬貨、１０円硬貨に両替する方法は何通りあるか。ｎで表せ。
問題３：５００ｎ円を、５００円硬貨、１００円硬貨、５０円硬貨、１０円硬貨に両替する方法は何通りあるか。ｎで表せ。
　　
以上の問題で、ｎは自然数を表す。




























解答

・わたしの

１．50n=50a+10b
n>=1
a=0,1,2,・・・,n
に対応して1：1で、bの値は決まる。
つまり、n+1通り。

２．100n=100a+50b+10c
a=0,1,2,・・・,n
a=0 のとき、100n=50*2n=50b+10c から、2n+1通り。
a=1 のとき、100(n-1)=50*2(n-1)=50b+10c から、2(n-1)+1=2n-1
a=2 のとき、100(n-2)=50*2(n-2)=50b+10c から、2(n-2)+1=2n-3
・
・
・
a=n のとき、100*0=50*0=50b+10c から、2(n-n)+1=2n-(2n-1)

つまり、2n*(n+1)+1-Σ(奇数：1〜2n-1):k=2n(n+1)-2n*n/2
=2n^2+2n+1-n^2
=n^2+2n+1
=(n+1)^2・・・答え


３．500n=500a+100b+50c+10d
a=0 のとき、100*5n=100b+50c+10d・・・(5n+1)^2
a=1 のとき、100*5(n-1)=100b+50c+10d・・・(5n-5+1)^2=(5n-4)^2
a=2 のとき、100*5(n-2)=100b+50c+10d・・・(5n-10+1)^2=(5n-9)^2
・
・
・
a=n のとき、100*5(n-n)=100b+50c+10d・・・(5n-5n+1)^2

(5n-(5k-1))^2=25n^2-10(5k-1)n+(5k-1)^2
合計=25n^2*(n+1)-10n*Σ(0〜n):(5k-1)+25Σ(0〜n):k^2-10Σ(0〜n):k+(n+1)
=25(n^3+n^2)-10n*(5n(n+1)/2-(n+1))+25*n(n+1)(2n+1)/6-10*n(n+1)/2+(n+1)
=25(n^3+n^2)-25n^2(n+1)+11n(n+1)+25(2n^3+3n^2+n)/6-5n(n+1)
=(150(n^3+n^2)-150(n^3+n^2)+36n(n+1)+25(2n^3+3n^2+n))/6
=(50n^3+111n^2+61n)/6
=n(50n^2+111n+61)/6
=n(50n+1)(n+61)/6・・・答え
n=0,+-1,+-2,+-3 でも整数になる。

*(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
(n+1)^3-1=3Σk^2+3n(n+1)/2+n
3Σk^2=(2(n^3+3n^2+3n+1)-3n^2-3n-2n-2)/2
=n(2n^2+3n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

かな・・・？

682

問題682

上の図のような、正方形と二等辺三角形からなる展開図を組み立ててできるへこみのない 立体の体積を求めなさい。ただし、正方形の１辺の長さは２、二等辺三角形の等しい２辺の 長さは√3とする。


































解答

・わたしの

(√3)^2=1^2+(√2)^2
(√2)^2=1^2+1^2
2^3+2^2*1*1/3=8+4/3=28/3 cm^3

たまにはこういった単純なのもいいかな ^^v

681'

問題681の解答の続きです。。。^^v

・新俳人澄朝さんのもの Orz〜

682

問題682（水の流れ　http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html Orz〜）

問題１：1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂの２つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。

問題２：1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃの３つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。
　　
問題３：1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。
　　
問題４：一般に、異なるｍ個のボールを、異なるｎ個の箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるかを、包除の原理を用いて、ｍ、ｎと和の記号シグマを用いて表せ。ただし、ｍ≧ｎとする。

問題５：問題４で得た式を用いて、1から６までの番号のついた６個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。






































解答

・Toruさんのもの Orz〜

問題１
１〜５のボールがそれぞれAかBにはいり、全てA あるいは全てBをのぞいて
2^5-2=30 　(とおり)

問題２
１〜５のボ−ルがA〜Cのいずれかとして3^5 =243
問題１よりAB, BC, CAにはいってしまうのがそれぞれ30とおり　
全てA or B or Cに入るのはそれぞれ1 とおりで
243- 3x30-3x1=150　（とおり）

問題３ 同様に考えて、
4^5 - 4C3 x 150 - 4C2 x 30 − 4C1 x 1 =240　（とおり）

問題4
箱をA1〜Anとする。　ボールの入れ方m^nのうち Akにボールが入らないものの集合
をAkとすると　求める数は　cは補集合として
｜c(A1∪A2∪---∪An)｜とあらわせれるが、包除の原理から
｜c(A1∪A2∪---∪An)｜=｜U｜?｜A1∪A2∪---∪An｜=｜U｜?Σ｜Ai｜＋Σ｜Ai
∩Aj｜?Σ｜Ai∩Aj∩Ak｜＋----±｜A1∩A2∩----∩An｜
(ここでUは全体集合　i<j<kなど)
｜U｜=m^n
｜Ai｜はAi以外に入れればよいから(n-1)^m ,Aiの選び方はnC1とおり
｜Ai∩Aj｜はAi,Aj以外に入れればよく(n-2) ^m ,Ai,Ajの選び方はnC2とおり
｜Ai∩Aj∩Ak｜はAi,j,Ak以外に入れればよく(n-3)^mで同様にnC3とおり
以下同様で
（上式）=n^m-nC1 x (n-1)^m+nC2 x (n-2)^m-nC3 x (n-3)^m+------±nCn x 0
=Σ（k=0〜n-1）(-1)^k nCk (n-k)^m
問題５

問題４でm=6 n=5 として　
5^6-5C1x4^6+5C2x3^6-5C3x2^6+5C4x1^6=1800 （とおり）

uchinyanさんのものも載せたいのですが、、、ここに載せるには余白が狭すぎる。。。^^; Orz〜

681

問題681（算チャレ掲示板で t さん提示問 Orz〜）

7^ｎの下４桁が2007になるｎはどのような自然数か？




































解答

・uchinyanさんのもの Orz〜

あまり賢い方法ではないですが．．．
7^2 = 49 = 50 - 1
7^4 = 49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2400 + 1
なので，以下，(2400 + 1)^m を検討しました。
これに 7 をかければ，下一桁が 7 になります。そのようにして，下四桁が 2007 になる場合を探します。
下四桁だけを考えればいいので，2400 の 2 次以上は 10000 の倍数なので，影響しません。つまり，二項展開から，
7^(4m) = (2400 + 1)^m = (10000の倍数) + m * 2400 + 1
7^(4m+1) = 7^(4m) * 7 = (2400 + 1)^m * 7 = (10000の倍数) + m * 2400 * 7 + 7
そこで，下四桁が 2007 となるのは，
m * 2400 * 7 + 7 = (10000の倍数) + 2007
m * 2400 * 7 = (10000の倍数) + 2000
m が 5 の倍数になるのは明らかで，m = 5, 10, 15 と試して，m = 15 で
15 * 2400 * 7 + 7 = 252000 + 7 = 252007
なので，OK です。
それ以上の m では，m = 25 で，m * 2400 * 7 は 10000の倍数なので，これは，(10000の倍数)の項の方に入ります。
そこで，元に戻して考えると，
m = 15　7^(4 * 15 + 1) = 7^61 = (10000の倍数) + 2007
m = 25　7^(4 * 25) = 7^100 = (10000の倍数) + 1
となります。逆に，100k + 61 になっていれば，
7^(100k + 61) = (7^100)^k * 7^61
= ((10000の倍数) + 1)^k * ((10000の倍数) + 2007)
= ((10000の倍数) + 1) * ((10000の倍数) + 2007)
= (10000の倍数) + 2007
で，題意を満たすことが分かります。

また後でゆっくり読んでみよっと ^^v