アットランダム≒ブリコラージュ

690'

問題690の解答です。^^v


１０＝２×５と素因数分解できますので、n！で末尾に続く０の個数は、n！に含まれる２と５の個数を数えることになりますが、２の個数は５の個数よりもはるかに多いので、５の個数だけ調べればいいことになります。

表：上：より、１から順に整数を掛け合わせていくと、５の倍数が現れるたびに１個ずつ５の個数が増えていきます。
ただし、２５の倍数や１２５の倍数のように５を複数個因数として持つ整数のときは、累計個数として表せない整数が発生します。（５kの倍数のときにk-1個） 　・・・　（１）
このまま地道に数えていくのも一つの方法ですが、いずれにしてもn！にある５の個数（Nとします）が１０００以上となるnをまず調べてみましょう。

n！に含まれる５kの倍数の個数をNkとします。
　Nk＝[n/５k]　（ただし、[ｘ]は、ｘの整数部分を表す）
と表されます。
５６＝１５６２５となるので、５5の倍数までを数えればいいことが分かります。
表：下：で横方向に数えていけば、
　N＝N1＋N2＋N3＋N4＋N5
となります。
これは、縦方向に数えていくと、
　N＝（N1−N2）×１＋（N2−N3）×２＋（N3−N4）×３＋（N4−N5）×４＋N５×５
　　＝N1＋N2＋N3＋N4＋N5
となることからも分かります。
Nk≒n/５k（誤差は１より小）なので、
　N≒n/５1＋n/５2＋n/５3＋n/５4＋n/５5＋
　　≒n/５1×１／（１−１/５）
　　＝n/４
よって、N≧１０００となるのは、n≒１０００×４＝４０００と分かります。
さて、n＝４０００のとき、
　N1＝[4000/5]＝８００、N2＝[4000/25]＝１６０、N3＝[4000/125]＝３２、
　N4＝[4000/625]＝６、N3＝[4000/3125]＝１　
より、N＝８００＋１６０＋３２＋６＋１＝９９９個
また、n＝４００５のとき、
　N1＝[4005/5]＝８０1、N2＝[4005/25]＝１６０、N3＝[4005/125]＝３２、
　N4＝[4005/625]＝６、N3＝[4005/3125]＝１　
より、N＝８０１＋１６０＋３２＋６＋１＝１０００個となります。
さて、（１）より、１０００までの整数で５の累計個数とならないものの個数をｎ'とすると、
　n'＝（N2−N3）×１＋（N3−N4）×２＋（N4−N5）×３＋N５×４
　　＝N2＋N3＋N4＋N5
　　＝１６０＋３２＋６＋１
　　＝１９９個
と求まります。
これは、１０００までに現れる５の累計個数のパターンが、N1＝８０１個ということから、
　n'＝N−N1＝１０００−８０１＝１９９個
とも計算できます。


なるほどね。。。時間ある時じっくり眺めてみようかな ^^

690

問題690 http://www.sansu.org/used-html/index382.html Orz〜

上図のように、１からnまでの整数を全部掛け算すると（n！＝nの階乗）、末尾にいくつか０が続きます。では、０以上１０００以下の整数の中で、末尾に続く０の個数になることができないものはいくつあるでしょうか。














































解答

次にアップしますね。v

689'

問題689の解答です。^^v
http://kurihara.sansu.org/sansu1-3/379.html Orz〜

左上にある４個のマス目の数字をP、Q、R、Sとおき、
上から１、２行目の公差（左→右）をａ、ｂ、左から１、２列目の公差（下→上）をｃ、ｄとします。

Ｓから見て、
・右への増分＝＋ｂ
・左への増分＝−ｂ
・上への増分＝＋ｄ
・下への増分＝−ｄ

従って、
　Ｑ−Ｒ＝ｂ−（−ｄ）＝ｂ＋ｄ＝３９−２８＝１１

また、Ｐから見て、
・右への増分＝＋ａ
・下への増分＝−ｃ

よって、
　Ｑ−Ｒ＝ａ−（−ｃ）＝ａ＋ｃ＝１１

さて、Ｐから見て、
・４つ右へは＋４ａ
・４つ下へは−４ｃ

よって、
　５９−Ｘ＝４ａ−（−４ｃ）＝４（ａ＋ｃ）＝４４

従って、
　Ｘ＝５９−４４＝１５
と求まります。　


これだけでも求まるんだ・・・♪

689

問題689 http://www.sansu.org/used-html/index379.html Orz〜

上の表のような５×５のマス目があります。
このマス目の各空欄に数字を記入して、各縦の列および各横の列がすべて、「常に一定の数ずつ増える（または減る）ような数の列」（※いわゆる等差数列です）になるようにします。
このとき、図の「？」のマスに当てはまる数字を求めてください。










































解答

次にアップしますね。v

688'

問題688の解答です。。。^^v
http://kurihara.sansu.org/sansu1-3/374.html Orz〜

４進数および３進数の問題に帰着できます。

各おもりは、１＝４0、４ｇ＝４1、１６＝４2、６４＝４3、２５６＝４4と４のべき乗になっています。従って、ある重さ（nｇとします）の量り方は、nを４進数で表して、各桁の数字だけのおもりを使うと良いことになります。たとえば、６ｇは６（１０進数）＝１２（４進数）なので、４ｇのおもり１個と１ｇのおもり２個で量れます。同様に、２８９（１０進数）＝１０２０１（４進数）なので２５６ｇのおもり１個と１６ｇのおもり２個、および１ｇのおもり１個とで量ることができます。
さて、量れる重さ（mｇとします）とおもりの個数を順に見ていくと、おもりの個数はmを３進数で表したものに対応していることが分かります。
従って、１０２０１（３進数）を１０進数に変換すると１００になるので、２８９ｇは小さい方から１００番目ということになります。

なるほどね♪　賢明ですね ^^