アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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690'

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問題690の解答です。^^v


10=2×5と素因数分解できますので、n!で末尾に続く0の個数は、n!に含まれる2と5の個数を数えることになりますが、2の個数は5の個数よりもはるかに多いので、5の個数だけ調べればいいことになります。

表:上:より、1から順に整数を掛け合わせていくと、5の倍数が現れるたびに1個ずつ5の個数が増えていきます。
ただし、25の倍数や125の倍数のように5を複数個因数として持つ整数のときは、累計個数として表せない整数が発生します。(5kの倍数のときにk-1個)  ・・・ (1)
このまま地道に数えていくのも一つの方法ですが、いずれにしてもn!にある5の個数(Nとします)が1000以上となるnをまず調べてみましょう。

n!に含まれる5kの倍数の個数をNkとします。
 Nk=[n/5k] (ただし、[x]は、xの整数部分を表す)
と表されます。
56=15625となるので、55の倍数までを数えればいいことが分かります。
表:下:で横方向に数えていけば、
 N=N1+N2+N3+N4+N5
となります。
これは、縦方向に数えていくと、
 N=(N1−N2)×1+(N2−N3)×2+(N3−N4)×3+(N4−N5)×4+N5×5
  =N1+N2+N3+N4+N5
となることからも分かります。
Nk≒n/5k(誤差は1より小)なので、
 N≒n/51+n/52+n/53+n/54+n/55+
  ≒n/51×1/(1−1/5)
  =n/4
よって、N≧1000となるのは、n≒1000×4=4000と分かります。
さて、n=4000のとき、
 N1=[4000/5]=800、N2=[4000/25]=160、N3=[4000/125]=32、
 N4=[4000/625]=6、N3=[4000/3125]=1 
より、N=800+160+32+6+1=999個
また、n=4005のとき、
 N1=[4005/5]=801、N2=[4005/25]=160、N3=[4005/125]=32、
 N4=[4005/625]=6、N3=[4005/3125]=1 
より、N=801+160+32+6+1=1000個となります。
さて、(1)より、1000までの整数で5の累計個数とならないものの個数をn'とすると、
 n'=(N2−N3)×1+(N3−N4)×2+(N4−N5)×3+N5×4
  =N2+N3+N4+N5
  =160+32+6+1
  =199個
と求まります。
これは、1000までに現れる5の累計個数のパターンが、N1=801個ということから、
 n'=N−N1=1000−801=199個
とも計算できます。


なるほどね。。。時間ある時じっくり眺めてみようかな ^^

690

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問題690 http://www.sansu.org/used-html/index382.html Orz〜

上図のように、1からnまでの整数を全部掛け算すると(n!=nの階乗)、末尾にいくつか0が続きます。では、0以上1000以下の整数の中で、末尾に続く0の個数になることができないものはいくつあるでしょうか。














































解答

次にアップしますね。v

689'

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問題689の解答です。^^v
http://kurihara.sansu.org/sansu1-3/379.html Orz〜

左上にある4個のマス目の数字をP、Q、R、Sとおき、
上から1、2行目の公差(左→右)をa、b、左から1、2列目の公差(下→上)をc、dとします。

Sから見て、
・右への増分=+b
・左への増分=−b
・上への増分=+d
・下への増分=−d

従って、
 Q−R=b−(−d)=b+d=39−28=11

また、Pから見て、
・右への増分=+a
・下への増分=−c

よって、
 Q−R=a−(−c)=a+c=11

さて、Pから見て、
・4つ右へは+4a
・4つ下へは−4c

よって、
 59−X=4a−(−4c)=4(a+c)=44

従って、
 X=59−44=15
と求まります。 


これだけでも求まるんだ・・・♪

689

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問題689 http://www.sansu.org/used-html/index379.html Orz〜

上の表のような5×5のマス目があります。
このマス目の各空欄に数字を記入して、各縦の列および各横の列がすべて、「常に一定の数ずつ増える(または減る)ような数の列」(※いわゆる等差数列です)になるようにします。
このとき、図の「?」のマスに当てはまる数字を求めてください。










































解答

次にアップしますね。v

688'

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問題688の解答です。。。^^v
http://kurihara.sansu.org/sansu1-3/374.html Orz〜

4進数および3進数の問題に帰着できます。

各おもりは、1=40、4g=41、16=42、64=43、256=44と4のべき乗になっています。従って、ある重さ(ngとします)の量り方は、nを4進数で表して、各桁の数字だけのおもりを使うと良いことになります。たとえば、6gは6(10進数)=12(4進数)なので、4gのおもり1個と1gのおもり2個で量れます。同様に、289(10進数)=10201(4進数)なので256gのおもり1個と16gのおもり2個、および1gのおもり1個とで量ることができます。
さて、量れる重さ(mgとします)とおもりの個数を順に見ていくと、おもりの個数はmを3進数で表したものに対応していることが分かります。
従って、10201(3進数)を10進数に変換すると100になるので、289gは小さい方から100番目ということになります。

なるほどね♪ 賢明ですね ^^

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