アットランダム≒ブリコラージュ

位相同形

以下のサイトで見つけました ^^v
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/folder/908570.html?m=lc&p=2　より Orz〜

非常に分かり易い図ですよね♪内容にはついて行けませんが。。。^^;;
でもこんなことを考えはじめた人の頭脳って、、、やっぱり変わってますよね ^^;
斜に構えて世の中・世界を眺めてるとしか・・・^^;
こどもの頃から世界をあるがままに、見えるがままに頭脳は理解しようと適応してきてるはずだのに、、、もう一度それを根底から疑ってかかり、再構築・別の新たな視点で見直す作業を始めるなんて、、、やっぱりあまのじゃくというものですよねえ・・・^^
でもそこから新世界が垣間見えてくるわけで、、、黄金に輝く宝の山はそうやって当たり前の世界と思ってるところをこじ開けない限り（ベールを剥がさない限り）その姿を現してはくれないってのも事実なんだ。。。やっぱり、脱がさなくっちゃ、新の美しい裸体は拝めない！？^^;v

1178：関数方程式

問題1178
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/folder/1650558.html?m=lc&p=2　より Orz〜

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数ｆ(ｘ)が、ｆ(０)＝０、ｆ'(０)＝１を満たし、さらに任意の実数ａ、ｂに対して１＋ｆ(ａ)ｆ(ｂ)≠０であって

　ｆ(ａ＋ｂ)＝｛ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)｝／｛１＋ｆ(ａ)ｆ(ｂ)｝・・・・・・(＊)

を満たしている。
(1)　任意の実数ａに対して　−１＜ｆ(ａ)＜１であることを証明せよ。
(2)　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフはｘ＞０で上に凸であることを証明せよ。








































解答

上記サイトより Orz〜

【解説】(＊)式のように関数の性質を取り出し、それを式で表したものを関数方程式と呼びます。例えば、ｆ(ｘ)が指数関数であれば、ｆ(ａ＋ｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)が成り立ちます。関数方程式の扱い方は決まっていて、適当な数値を代入することと、定義に従って微分することで問題が解決することになっています。(＊)式を用いて導関数を求めてみましょう。

　　　ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)＝｛ｆ(ｘ)＋ｆ(ｈ)｝／｛１＋ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)｝−ｆ(ｘ)
　　　　　　　　　　　　＝｛ｆ(ｘ)＋ｆ(ｈ)−（１＋ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)）ｆ(ｘ)／｛１＋ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)｝
　　　　　　　　　　　　＝ｆ(ｈ)｛１−ｆ(ｘ)^2｝／｛１＋ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)｝
なので
　ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)／ｈ＝ｆ(ｈ)／ｈ・｛１−ｆ(ｘ)^2｝／｛１＋ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)｝
ここでｆ(ｈ)／ｈ＝｛ｆ(０＋ｈ)−ｆ(０)｝／ｈ→ｆ'(０)＝１（ｈ→０）なので、ｈ→０の極限をとって
　　　　　　　　　ｆ'(ｘ)＝１−ｆ(ｘ)^2・・・・・・・・(＊)
が得られます。
さて、このｆ(ｘ)はどのような関数でしょうか。(＊)式はタンジェントの加法定理に似ていますね。
実は(＊)式を積分することでｆ(ｘ)はもとめられます。ｆ(ｘ)＝ｙとおけば(＊)式は
　　　　　　　　　　ｄｙ／ｄｘ＝１−ｙ^2
　　　　　　　⇔　　ｄｙ／１−ｙ^2＝ｄｘ
　　　　　　　⇔　　ｄｙ｛１／(１＋ｙ)＋１／(１−ｙ)｝＝２ｄｘ
両辺積分して
　　　　　　　　　　ｌｏｇ｜１＋ｙ｜−ｌｏｇ｜１−ｙ｜＝２ｘ＋Ｃ（Ｃは積分定数）
ｘ＝０でｙ＝０なのでＣ＝０
よって　　　　　　　ｌｏｇ｜(１＋ｙ)／(１−ｙ)｜＝２ｘ
　　　　　　　⇔　　(１＋ｙ)／(１−ｙ)＝ｅ^2x
　　　　　　　⇔　　ｙ＝｛ｅ^2x−１｝／｛ｅ^2x＋１｝
となります。
適当な数値を代入するというのは、例えばｂ＝−ａとおくと(＊)式は

　　　　　　　　　　ｆ(ａ−ａ)＝｛ｆ(ａ)＋ｆ(−ａ)｝／｛１＋ｆ(ａ)ｆ(−ａ)｝
　　　　　　　⇔　　ｆ(０)＝｛ｆ(ａ)＋ｆ(−ａ)｝／｛１＋ｆ(ａ)ｆ(−ａ)｝
　　　　　　　⇔　　　　０＝｛ｆ(ａ)＋ｆ(−ａ)｝／｛１＋ｆ(ａ)ｆ(−ａ)｝
分母は０とならないので分子が０、したがって
　　　　　　　　　　　ｆ(−ａ)＝−ｆ(ａ)
ｆ(ｘ）が奇関数であることが導けました。

(１)では背理法を用いるのが簡明です。

【解答】
(１)　ｆ(ａ)＝±１とおくと(＊)式は
　　　　　　ｆ(ａ＋ｂ)＝｛±１＋ｆ(ｂ)｝／｛１±ｆ(ｂ)｝＝±１
　　ここでｂ＝−ａとおくとｆ(０)＝±１となり条件を満たさない。
　　したがって関数ｆ(ｘ)は±１という値をとらないので、任意の実数ａでｆ(ａ)≠±１
　　ｆ(ｘ)は微分可能なので、連続関数である。
　　ｆ(ａ)＞１と仮定すると、ｆ(０)＝０でありｆ(ｘ)は連続なのでｆ(ｃ)＝１となるｃが存在するこ　　　とになりこれは矛盾する。従ってｆ(ａ)＜１
　　またｆ(ａ)＜−１と仮定すると、同様にｆ(ｃ)＝−１となるｃが存在することとなり矛盾する。
　　したがってｆ(ａ)＞−１
　　以上より　−１＜ｆ(ａ)＜１が示された
(２)　ｆ'(ｘ)＝１−｛ｆ(ｘ)｝^2なので（解説を参照のこと）
　　　ｆ''（ｘ）＝−２ｆ(ｘ)ｆ'(ｘ)
　　　−１＜ｆ(ｘ)＜１なので、ｆ'(ｘ)＞０
　　　これよりｆ(ｘ)は増加関数である。また、ｆ(０)＝０なのでｘ＞０でｆ(ｘ)＞０
　　　よってｘ＞０でｆ''(ｘ)＜０となるので、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは上に凸となる。


関数方程式なんて習ったかなあ・・・？
取っ掛かりになれそうな問題だったので、、、熟読いたします♪

1177：整数

問題1177
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/folder/1650558.html?m=lc&p=2　より Orz〜

ｘの２次方程式ｘ^2−ｍｎｘ＋ｍ＋ｎ＝０（ただし、ｍ、ｎは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個あるか。






































解答

上記サイトより Orz〜

【解説】
２次方程式の整数解の問題です。
２解をα、βとおけば、解と係数の関係より
　　　α＋β＝ｍｎ　・・・・・・(＊)
　　　　αβ＝ｍ＋ｎ　・・・・・(＊)
ｍ、ｎが自然数なので、α、βも自然数であることがわかります。

和が積に、積が和に等しくなっているわけですが、どことなく気持ち悪くありませんか。
普通、和よりも積の方が大きくなるという感覚がありませんか。
和ｍ＋ｎよりも、積ｍｎの方がたいていの場合大きい。
つまり(＊)式の方が大きい。
そうなると、和α＋βが積αβより大きくなってしまいます。

実際ｍ＋ｎとｍｎの大小はどうなるのでしょう。
　　　ｍｎ−(ｍ＋ｎ)＝(ｍ−１)(ｎ−１)−１
ですから、
(ア)ｍ＝ｎ＝２の場合。
　　　　ｍｎ＝ｍ＋ｎ
(イ)ｍ、ｎの少なくとも一方が１となる場合
　　　　ｍｎ＜ｍ＋ｎ
(ウ)(ア)でも(イ)でもない場合（ｍ≧２、ｎ≧２、ただしｍ、ｎ同時に２とはならない）
　　　　ｍｎ＞ｍ＋ｎ
となることが分ります。

(ア)の場合、元の２次方程式は
　　　　ｘ^2−４ｘ＋４＝０　⇔　(ｘ−２)^2＝０
　　となり題意をみたしています。
(イ)の場合、
　　ｍ＝１とおけば、(＊)(＊)式は
　　　　α＋β＝ｎ
　　　　　αβ＝１＋ｎ
　　ｎを消去すれば、
　　　　　αβ＝１＋α＋β　⇔　(α−１)(β−１)＝２
　　α、βは自然数なので
　　　　　(α，β)＝(２，３)，(３，２)
　　このときｎ＝５となり、元の方程式はｘ^2−５ｘ＋６＝０
(ウ)の場合、α＋β＞αβとなるので、αβの少なくとも一方は１となる。
　　α＝１とおくと(＊)(＊)式は
　　　　１＋β＝ｍｎ
　　　　　　β＝ｍ＋ｎ
　　となり、これを解くと(ｍ，ｎ)＝(２，３)，(３，２)
　　元の方程式はｘ^2−６ｘ＋５＝０

結局題意をみたす方程式は３つしかありません。

【解答】
　　　　２解をα、βとおけば、解と係数の関係より
　　　　　　　α＋β＝ｍｎ　・・・・・・(＊)
　　　　　　　　αβ＝ｍ＋ｎ　・・・・・(＊)
　　　　ｍ、ｎが自然数なので、α、βも自然数である。
　　　　(＊)−(＊)より、
　　　　　　　α＋β−αβ＝ｍｎ−(ｍ＋ｎ)
　　　　これを変形すると
　　　　　　　２−(α−１)(β−１)＝(ｍ−１)(ｎ−１)
　　　　α、β、ｍ、ｎは自然数なので、(α−１)(β−１)≧０、(ｍ−１)(ｎ−１)≧０
　　　　よって(ｍ−１)(ｎ−１)＝０，１，２
　　　　
　　　　(ア)(ｍ−１)(ｎ−１)＝０の場合、ｍ、ｎの少なくとも一つが１なので、　
　　　　　　ｍ＝１とおけば、(＊)(＊)式は
　　　　　　　　　α＋β＝ｎ
　　　　　　　　　　αβ＝１＋ｎ
　　　　　　ｎを消去すれば、
　　　　　　　　　　αβ＝１＋α＋β　⇔　(α−１)(β−１)＝２
　　　　　　α、βは自然数なので
　　　　　　　　(α，β)＝(２，３)，(３，２)
　　　　　　このときｎ＝５となる。
　　　　　　元の方程式はｘ^2−５ｘ＋６＝０なので、題意をみたす。

　　　　(イ)(ｍ−１)(ｎ−１)＝１の場合、ｍ＝ｎ＝２なので元の方程式は
　　　　　　　　ｘ^2−４ｘ＋４＝０　⇔　(ｘ−２)^2＝０
　　　　　　これは題意をみたしている。

　　　　(ウ)(ｍ−１)(ｎ−１)＝２の場合、(ｍ，ｎ)＝(２，３)，(３，２)なので元の方程式は
　　　　　　　　ｘ^2−６ｘ＋５＝０　
　　　　　　これは題意をみたしている。

　　　　以上より題意のような方程式は３個ある。


熟読玩味いたします♪

1176：整数

問題1176
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/folder/1650558.html#24236064　より Orz〜

５５ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2＝２００７を満たす整数の組(ｘ，ｙ)をすべて求めよ。









































解答

上記サイトより Orz〜

【方針】
二次式が与えられてできることといえば、大きく分けてふたつ。
(１)因数分解をするか、(２)平方完成をするかのいずれかだ。
この問題では、因数分解は不可能なので、２ｘｙという項にあわせて平方完成することになる。
すると、与式　⇔　５４ｘ2＋(ｘ＋ｙ)^2＝２００７
さて、この後はどうすればいい？
次にやるべきことは２００７という数の意味を考えることだ。
そう、もちろんこの数値は今年の西暦の年号だ。しかし考えるのはそこではない。
整数問題を考えるときは、つねに約数についての意識を持つようにしなければならない。
さて、２００７の各位の数字を加えた２＋０＋０＋７＝９は９の倍数なので、２００７も９の倍数だ。
実際に割り算をすると、２００７＝９×２２３。幸い５４も９で割れるではないか。
与式　⇔　(ｘ＋ｙ)^2＝９(２２３−６ｘ2)
左辺が平方数なので右辺も平方数になることがわかる。後は絞り込んでしらみつぶしだ。

【解答】

　　与式　⇔　５４ｘ2＋(ｘ＋ｙ)^2＝２００７
　　　　　⇔　(ｘ＋ｙ)^2＝９(２２３−６ｘ2)・・・・(＊)

左辺および９が平方数なので、２２３−６ｘ2も平方数である。
２２３−６ｘ2＝ｎ^2（ｎは整数）とおけば、
　　　　　　　２２３−ｎ^2＝６ｘ2
右辺は６の倍数なので、左辺も６の倍数となる。　

ここで、２２３≡１(ｍｏｄ６)なので、ｎ^2≡１(ｍｏｄ６)となる。
またｎ≡２，４(ｍｏｄ６)のとき、ｎ^2≡４（ｍｏｄ６)
　　ｎ≡３(ｍｏｄ６)のとき、ｎ^2≡３(ｍｏｄ６)
　　ｎ≡０(ｍｏｄ６)のとき、ｎ^2≡０(ｍｏｄ６）
　　ｎ≡１，５(ｍｏｄ６)のとき、ｎ^2≡１(ｍｏｄ６)であるから、
ｎ＝１，５，７，１１，１３である。（２２３−ｎ^2≧０なので）

このとき、
　　２２３−ｎ^2＝２２２，１９８，１７４，１０２，５４
それぞれ６で割ると
　　(２２３−ｎ^2)÷６＝３７，３３，２９，１７，９
平方数となるのは９だけである。
よって、ｘ2＝９
　　(＊)　⇔　(ｘ＋ｙ)^2＝９(２２３−６×９)＝９×１６９＝３９2
このとき、
　　　(ｘ，ｙ)＝(３，３６)，(−３，４２)，(３，−４２)，(−３，−３６)



熟読玩味いたします。。。^^;v

1175：数字

問題1175
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/folder/1650558.html#24236064　より Orz〜

自然数ｎの各桁の数字の和をＳ(ｎ)で表す。
たとえばＳ(１９１８)＝１＋９＋１＋８＝１９である。
(１)　ｎ＋Ｓ(ｎ)＝１００を満たす自然数ｎを求めよ。
(２)　ｎ＋Ｓ(ｎ)＝１９８８を満たす自然数ｎを求めよ。

































解答

上記サイトより Orz〜

【解説】Ｓ(ｎ)が３の倍数ならばｎも３の倍数だし、９の倍数ならばｎも９の倍数になることはしっているよね。これは１０進法という数の表記の仕方に関わる問題です。たとえばｎが三桁の自然数で各位の数字が百の位がａ、十の位がｂ、一の位がｃとしましょう。
　　　　　ｎ＝ａ×１０2＋ｂ×１０＋ｃ
また　Ｓ(ｎ)＝ａ＋ｂ＋ｃ
このとき
　　　ｎ−Ｓ(ｎ)＝ａ×１０2＋ｂ×１０＋ｃ−(ａ＋ｂ＋ｃ)
　　　　　　　　＝９９ａ＋９ｂ
すなわち、
　　　　　　　ｎ＝９(１１ａ＋ｂ)＋Ｓ(ｎ)
これよりＳ(ｎ)が９の倍数であればｎも９の倍数であることがわかります。
この問題では、条件よりまずｎの桁数がわかります。

【解答】
(１)明らかにｎは二桁なので、ｎ＝１０ｘ＋ｙとおく。
ただし、ｘ、ｙは０＜ｘ≦９、０≦ｙ≦９の自然数。
　　このときＳ(ｎ)＝ｘ＋ｙ
　　与式　⇔　(１０ｘ＋ｙ)＋(ｘ＋ｙ)＝１００
　　　　　⇔　１１ｘ＋２ｙ＝１００
　　　　　⇔　２ｙ＝１００−１１ｘ
ここでｘ≦７とおくと　−１１ｘ≧−７７なので
　　２ｙ＝１００−１１ｘ≧２３
となりｙ≦９と矛盾する。
またｘ＝９とすると２ｙ＝１となり不適。したがって、ｘ＝８　このときｙ＝６
よってｎ＝８６である。

(２)明らかにｎは４桁で最高位の数字が１である。ｘ，ｙ，ｚを９以下の非負整数として、
　　ｎ＝１０００＋１００ｘ＋１０ｙ＋ｚとおく
とおける。このとき
　Ｓ(ｎ)＝１＋ｘ＋ｙ＋ｚ
　与式　⇔　(１０００＋１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ)＋(１＋ｘ＋ｙ＋ｚ)＝１９８８
　　　　⇔　１０１ｘ＋１１ｙ＋２ｚ＝９８７
　　　　⇔　１１ｙ＋２ｚ＝９８７−１０１ｘ
ｘ≦８とおくと、　−１０１ｘ≧−８０８であり
　　　　　　１１ｙ＋２ｚ＝９８７−１０１ｘ≧９８７−８０８＝１７９　
１１ｙ＋２ｚ≦９９＋１８＝１０７なので矛盾する。したがってｘ＝９
このとき　　１１ｙ＋２ｚ＝７８　⇔　２ｚ＝７８−１１ｙ
これをみたすｙ、ｚはｙ＝６、ｚ＝６である。したがってｎ＝１９６６　


これも面白そう、、、熟読玩味させていただきます♪