アットランダム≒ブリコラージュ

1320：グラフ

問題1320
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon25/　より Orz〜

平面に2004個の点があり、どの3点も一直線上にない。
うまい順番で点をつなぎ2004角形が作れることを示せ。
ただし、辺と辺が交差してはいけないものとする。

上図：点が10個の場合の例













































解答

under consideration...

外側の点をすべて結ぶ。そのとき、内側に残されてる点があれば、外側のいずれかの点とその内部の点を結び、その外側の点の隣の点とそれぞれ結び直す。それを繰り返せば、すべての点はへんの重なりなく結べますよね？^^

1319：石取りゲーム

問題1319
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon24/　より Orz〜

石がa個とb個に分けて2つの山に置かれている。
交互にどちらか1つの山から石を1つまたは2つ取っていき、 最後の石を取った人が勝ちとするゲームをする時、 先手必勝か後手必勝か。








































解答

・わたしの

つねに、a+b が偶数になるように相手に渡せば勝てるので、先手が必勝。
たとえば、1-1,2-2,2-0,4-0 でも相手に渡せば勝てる。偶数にできるのは先手の権利。

こりゃ嘘でしたね。。。^^;
2-0、4-0 じゃあ、負けちゃう。。。
最後に３個になるようにすればいいんですね？


上記サイトより Orz〜

自分の取った後に、
二つの山の石の個数の3で割った余りが等しい状態(Aと置く)
にすれば勝てる。
状態Aからどのようにしても状態Aでない状態(状態Bと置く)になる。(1)
状態Bから上手くすれば状態Aにできる。(2)
これを繰り返すと石の数が減っていくが、
0,0の状態は状態Aなので、
最初に状態Aにした人が勝てる。
よって a と b の3で割った余りが等しい時、後手必勝。
そうでなければ先手必勝。
(1),(2)は簡単なので自分で考えて見ましょう。

1318：対偶

問題1318
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/　より Orz〜

ある本に
「怒られないと勉強しない」……(1)
の対偶は
「勉強すると怒られる」
ではなく、(1)の真の意味は
「怒られるまで勉強しない」
なので、対偶は
「勉強するといつも怒られない」
となる。
ということが書かれていましたが、それは正しいでしょうか？
間違っているならばどこが誤りかを答えなさい。








































解答

上記サイトより Orz〜

・aete344920さんのもの Orz〜

「怒られないと勉強しない」
というのは
「怒られるという条件が起こらなければ勉強しているという状態は起こらない」
という意味であるから、
本当の対偶命題は
「勉強しているならばすでに怒られている」
である。
自然な日本語で書くと
「あ、勉強してる。さっき怒られたろ。」

この問題は、「ある本」(数○パズル)の問題を解いた時に、
「答え(『勉強するといつも怒られない』)が間違っている」
と思ったのがもとです。
(新装版も直っていなかった)
本に騙されないように。


ややこしい〜〜〜^^;

1317：信号待ち

問題1317
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon20/　より Orz〜

数学村の村長は毎日自転車で家から駅まで行っています。
途中には信号が7個あり、
順に(青信号の時間(秒),それ以外の時間(秒))が
(30,60) , (40,40) , (30,90) , (20,120) , (60,50) , (40,60) , (40,30)
で繰り返しています。
村長は毎日同じ時刻に家を出ていましたが、今日5秒遅れてしまいました。
駅に着くのは最大で何秒遅れるでしょうか。

もちろん、村長は信号無視をしません。
(青信号の時のみ渡り、ちょうど黄色に変わった時は渡らない。)
また、信号は異なる日でも同じ時刻なら同じ信号であるとします。

ここで、自転車の速さは場所のみ(時間は関係ない)の影響を受け、
加速減速にかかる時間はないとします。

この問題はフィクションですが、実在の信号とは一切関係がないとは言い切れません。






































解答

こういった長たらしい問題はどうも、、、^^;
でも面白い解答なので、、、^^
上記サイトより Orz〜

まず、次の問題を考えてみます。
最初5秒遅れた。
信号はすべて青30秒、それ以外30秒で繰り返していて10000個ある。
さて、最大で何秒遅れるか。
もちろん60秒です。
なぜなら「60秒前に信号に来た人と信号待ちの時間は同じ」だからです。

さて、まず、信号が1個の場合、
すでに x 秒遅れていると
青信号 a 秒、それ以外 b 秒の信号を通り過ぎた後
最大で何秒遅れているかを考えます。

0+n(a+b)<x≦a+n(a+b) (nは整数) の時、
ちょうど信号が黄色に変わった時に b 秒遅れ、
結局、 x+b 秒遅れになります。
青信号でない時間は連続して b 秒しか続かないので
これ以上遅れることはないことが分かります。

a+n(a+b)<x≦(n+1)(a+b) (nは整数) の時、
出発が遅れなかった場合にちょうど青信号で通過できた時に、
(n+1)(a+b) 秒遅れになります。
(n+1)(a+b) 秒前に信号に来た人と信号待ちの時間は同じで、
早くついた人が遅くついた人より信号で遅くことはないので、
これ以上遅れることはないことが分かります。

これに代入して、
最初は 5 秒遅れ、
(30,60) の信号を通った後最大で 65 秒遅れ、
(40,40) の信号を通った後最大で 80 秒遅れ、
(30,90) の信号を通った後最大で 120 秒遅れ、
(20,120) の信号を通った後最大で 140 秒遅れ、
(60,50) の信号を通った後最大で 190 秒遅れ、
(40,60) の信号を通った後最大で 200 秒遅れ、
(40,30) の信号を通った後最大で 210 秒遅れ、
よって、最大で 210 秒遅れる

熟読玩味を要するなあ。。。^^;v

1316：期待値

問題1316
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon19/　より Orz〜

どの面も等しい確率で出るサイコロがあります。
このサイコロを前の目より小さい(同じは含まない)目が出るまで振り続けます。
(例:1,3,3,5,2)
振る回数の期待値を求めなさい。






































解答

・わたしの

最初に出る値は、3.5 だから、次にそれより小さい数は、3,2,1 であり、確率は半分。
つまり２回。最初に振る回数の１回を含めて３回？

上記サイトより Orz〜

aiをiを出した後に振る回数の期待値とする。
a1=1+a1/6+a2/6+a3/6+a4/6+a5/6+a6/6 =a2+a1/6
a2=1+a2/6+a3/6+a4/6+a5/6+a6/6 =a3+a2/6
a3=1+a3/6+a4/6+a5/6+a6/6 =a4+a3/6
a4=1+a4/6+a5/6+a6/6 =a5+a4/6
a5=1+a5/6+a6/6 =a6+a5/6
a6=1+a6/6
なので、
a6=6/5
a5=(6/5)^2
a4=(6/5)^3
a3=(6/5)^4
a2=(6/5)^5
a1=(6/5)^6
求める期待値は1を出した後に振る回数の期待値と等しいので、
(6/5)^6(=46656/15625)

一般に面がn個のまともなサイコロでは振る回数の期待値は
(n/(n-1))^nとなります。
これは、nを大きくしていったときに、e(自然対数の底)に収束します。
0以上1以下の実数の乱数の場合も、この問題と同様に、
f(x)=∫(x→1) f(t) dt
を満たすので、これを「解く」と
f(x)=e^(1-x)
となり、求める期待値=f(0)=eとなります。


意外とややこしいものですね。。。^^;