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問題1314
方程式
a^2+b^2+c^2=a^2b^2 のすべての整数解を決定せよ。
解答
・わたしの
a,b とも奇数のとき、c も奇数になるが、
c^2+1=(a^2-1)(b^2-1) から、
右辺は、４の倍数だが、左辺は、c=4m+1,4m-1 では成り立たない。
a,b とも偶数のとき、c も偶数になるが、
4a^2+4b^2+4c^2=4a^2b^2
から、a^2+b^2+c^2=a^2b^2 に戻る。
最終的には、奇数だけのときに帰結するから無理。
a が偶数、b が奇数のとき、c は奇数になる。
4a^2+b^2+c^2=4a^2b^2
b^2+c^2 が、４の倍数になる。
b=2m+1
c=2n+1
b^2+c^2=4k+2 で成り立たない。
結局、(a,b,c)=(0,0,0) 以外ない。？
友人からのもの
a,b,c の偶奇のすべての場合について４を法として方程式を考察することにより、a,b,c はすべて偶数でならないことを示す。また、a,b,c はすべて非負であるようにとれる。
まず、偶数、奇数に対して、次のことに注意する。
(2n)^2≡0 (mod 4) および (2n+1)^2≡1 (mod 4)
場合1：a,b,c はすべて奇数
a^2+b^2+c^2≡3 (mod 4)
であるが、
a^2b^2≡1 (mod 4)
となる。
場合2：２つが奇数で１つが偶数。
a^2+b^2+c^2≡2 (mod 4)
であるが、
a^2b^2≡0 または 1 (mod 4)
となる。
場合3：２つは偶数で１つは奇数。
a^2+b^2+c^2≡1 (mod 4)
であるが、
a^2b^2≡0 (mod 4)
となる。
可能な解 a.b.c は偶数に限るから、a=2a1,b=2b1,c=2c1 とおく。
すると方程式は、
a1^2+b1^2+c1^2=4a1^2b1^2 ただし、a1<=a,b1<=b,c1<=c
となる。
いま、4a1^2b1^2≡0 (mod 4) であって、a1^2,b1^2,c1^2 はそれぞれ（４を法として）０または１に合同である。よって、a1^2≡b1^2≡c1^2≡0 (mod 4) となり、a1,b1,c1 は偶数である。
いま、a1=1a2,b1=2b2,c1=2c2 とする。すると方程式は、
16a2^2b2^2=a2^2+b2^2+c2^2
となる。ふたたび、a2,b2,c2 は偶数であることがいえ、したがって方程式は
64a3^2b3^2=a3^2+b3^2+c3^2
ただし、a=8a3,b=8b3,c=8c3 となる。この議論を繰り返せば a,b,c はいくらでも大きな2のべき乗で割り切れることがいえる。したがって、この方程式の解は、a=b=c=0 のみである。
この解法は、フェルマーの無限降下法の１つの例である。
ちなみに、x^2+y^2+z^2=kxyz が正整数解をもつのに、k=1 と k=3 の場合に限ることが示されている。そして、最小値から出発して、すべての解を生成するようなアルゴリズムが与えられている。
わたしのやり方と同じかな ^^v
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