アットランダム≒ブリコラージュ

1313：整数

問題1313
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon18/　より Orz〜

1以上9以下の自然数a,bがあり、 a*bは二桁の数で十の位と一の位の和は(a+b)と等しくなる。
そのようなa,bの組を全て求めよ。
例えば、a＝6 , b＝7の時、6×7＝42となり、6+7≠4+2となり条件を満たしません。





































解答

・わたしの

逐一に近いですが、、、
二桁になるためには、
２数は、
2*5,2*6,2*7,2*8,2*9
3*4,3*5,3*6,3*7,3*8,3*9
4*4,4*5,4*6,4*7,4*8,4*9
5*5,5*6,5*7,5*8,5*9
6*6,6*7,6*8,6*9
7*7,7*8,7*9
8*8,8*9
9*9
から、、、3*6=6*3=18 は、3+6=1+8=9で満たす。 ^^;

上記サイトより Orz〜

・masさんのもの Orz〜

ab≡a+b mod 9
(a-1)(b-1)=1 mod 9

a-1|b-1
1｜ 1→2*2=4:×
2｜ 5→3*6=18:ok
4 ｜7→5*8=40:×
5 ｜2→6*3=18:ok
7｜ 4→8*5=40:×
8｜ 8→9*9=81:×

(3,6),(6,3)

クレバーだね♪

1312：整数の表し方

問題1312
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon17/　より Orz〜

nを非負整数とする。 (n+1)を正の奇数の和で表す方法の個数と (n+2)を2以上の整数の和で表す方法の個数は 等しいことを示せ。
ただし、いずれも和の順序が違うものは異なると考えるとする。
(例えば 1+5 , 5+1 や 2+3+4 , 4+3+2 は異なると考える。)














































解答

これってオイラーさんが考えた問題に似てますよね。。。
under consideration...

上記サイトより Orz〜

お詫び:和は「1個以上の数の和」という意味でした。すみません。
(n+1)を正の奇数の和で表す方法と
(n+2)を2以上の整数の和で表す方法が
1対1対応することを示す。
「奇数」を1+2+…+2 (2は0個以上)に書き換え、
「2以上の整数」を2+1+…+1 (1は0個以上)に書き換える。
すると、
(1.) n+1=1+……
(2.) n+2=2+……
となり、……はどちらも答えがnとなる1,2の和となる。
また上の逆を行うと、
任意の1+……から奇数の和に一意に書き換えることができ、
任意の2+……から2以上の整数の和に一意に書き換えることができるので、
(1.),(2.)が同じ個数ある。
よって示された。

例:
11= 1 +1 +1 +3 +5
11= 1 +1 +1 +2 +1 +2 +2 +1
12= 2 +1 +1 +2 +1 +2 +2 +1
12= 4 +3 +2 +3


よくわかっちゃいません。。。^^;

1311：整数

問題1311
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon16/　より Orz〜

a^b＝b^aとなる正整数(a,b)の組を全て求めよ。











































解答

これは以前出た問題ですね。。。^^;
under consideration...

a^b=b^a
・a=b のときはすべての正整数が満たす。
・a<b のとき、
b=a^k
a^(a^k)=(a^k)^a
a^(a^k)=a^(ka)
a^k=ka
a(a^(k-1)-k)=0
a^(k-1)=k
k=a^m
a^(a^m-1)=a^m
a^m-1=m
a^m=m+1
a=2 のとき、2^m=m+1 を満たすためには、m=1 しかない。
a?3 のとき、3^m=m+1 を満たすものはない。
a=2,m=1 のとき、k=2
b=2^2=4
つまり、2^4=4^2=16

結局、(a,b)=(m,m),(2,4),(4,2)

上記サイトより Orz〜

解答1(中学生でも理解できる解答)
まず、a=bの時は明らかに成り立つ。
a≠bの時、a<bとして考える。
b/a=b'/a' かつ a',b'の最大公約数が1となるようにa',b'(b'≧2)をとると、
a=ca',b=cb' (cは正整数,c≧2)
と置ける。
ここで、b'/a'=b/a=cb'-a'なので、
b'/a'は整数。
すなわちa'=1
よって、b'=cb'-1
c=2の時
b'=2の時成り立つ。
b'=3の時b'<cb'-1
c≧3の時b'<cb'-1
b'=kの時b'<cb'-1とすると
k+1≦2k<2･ck-1≦ckとなり、
b'=k+1の時もb'<cb'-1となる。
よって、(a',b',c)=(1,2,2)のみ成り立つ。
すなわち、(a,b)=(2,4) (これは条件を満たす)
a>bの時は(a,b)=(4,2)
よって、答は
(a,b)=(2,4),(4,2),(n,n)(nは自然数)

解答2：かつをのあにさんのもの Orz〜
?a=bの場合
全ての正の整数があてはまる。
?a≠bの場合
a<bと仮定する。
両辺は正なので対数を取ると
bloga=alogb
∴loga/a=logb/b
ここでY=logX/Xの関数について考える。
両辺微分して
Y'=(1-logx)/x2
となり、増減表を考えると
X| 0 1 e ∞
Y| + 0 + 1/e -

となる。従ってe以下では単調増加でe以下では単調減少。
ここでx→∞によりy=logx/xの関数はx=0を漸近線とする。
従ってx=eをはさんであるyに対して対応する正数は一対一となる。
ここでe≒2.7なのでグラフを考えると
a=2のみが当てはまる。
この場合b=4となる。

＜答え＞
a=bの場合、全ての自然数が当てはまる
a≠bの場合、(a,b)=(2,4)(4,2)


ま、同じ解法でしたかね ^^v

1310：２個の長方形

問題1310
http://www.geocities.jp/sugakumura/mondai/mon15/　より Orz〜

相似でない2つの長方形S,Tがあります。
次の条件を満たしている時、長方形の辺の比をそれぞれ求めよ。

・ある直線l1が存在し、 Sをl1で分割してできる図形をS1,T1とする時、SとS1,TとT1がそれぞれ相似になる。
・ある直線l2が存在し、 Tをl2で分割してできる図形をS2,T2とする時、SとS2,TとT2がそれぞれ相似になる。








































解答

under consideration...

Aortic stenosis

A 77-year-old man with dyspnea on exertion, angina pectoris, and syncope.

Background

Aortic valve stenosis increases in frequency with advancing age and is typically due to calcification of a normal trileaflet valve, although bicuspid valves may become calcified and stenotic earlier in life. Rheumatic fever is also associated with aortic stenosis, which often occurs in conjunction with mitral stenosis. Approximately 25% of patients over 65 years of age develop aortic valvular scleosis, with 2% to 3% of these patients developing hemodynamically significant stenosis. Aortic stenosis is more common in smokers and in patients with hypertension.

Symptoms

Symptoms are due to decreased cardiac output against a fixed afterload; however, many patients are asymptomatic until stenosis is sever. Typical late symptoms of aortic stenosis include the classic triad of dyspnea on exertion, angina pectoris, and syncope. Angina may occur with normal coronary arteries and is due to an imbalance in oxygen demand to the hypertrophied myocaldium. Syncope is typically exertional and is due to a fixed cardiac output through the narrowed valve orifice.

Physical examination

Physical findings include a diamond-shaped, crescendo-decrescendo systolic murmur that radiates to the carotid arteries as well as a slow-rising, low-amplitude carotid pulse ( "pulsus parvus et tardus" ). The aortic component of the second heart sound may be deminished, with reversed splitting. A thrill may be palpated in the suprasternal notch. In late cases, a left ventricular heave may be present.

Diagnostoc data

The electrocardiogram often reveals left ventricular hypertrophy. Chest radiography often shows cardiomegaly and, occasionally, a calcified aortic root. Echocardiography with Doppler ultrasound should be obtained to assess the valve area, the pressure gradient across the valve, and left ventricular function. Prognosis is poor after symptoms develop, with most patients surviving less than 3 years unless valve replacement is performed.


画像：http://www.jhf.or.jp/heartnews/hn2003no5/index.html　より Orz〜

「血液の逆流を防ぐ心臓弁

心臓には、四つの部屋があります。全身から戻ってきた血液を肺に送る右心房と右心室、肺で酸素を取り込んだ新鮮な血液をまた全身へと送り出す左心房と左心室です。左右の心室の入口と出口には心臓弁があり、閉じたり開いたりして血流の逆流を防いでいます。四つの心臓弁のうち疾患が起こりやすいのは、左心房と左心室の間にある僧帽弁と、左心室と大動脈の間にある大動脈弁です。これらの弁は、全身に送り出される血液を通すため、いつも大きな負荷がかかっているからです。・・・
大動脈弁狭窄症、閉鎖不全症とは

大動脈弁狭窄症とは、大動脈弁が狭くなるために起こる疾患です。弁口が大きく開かないため、左心室から大動脈（全身）に十分な血液を送り込むことができません。そのため左心室の中の圧力が高い状態が続き、左心室の壁（心筋）に無理な力が加わって厚くなっていきます。血管には十分な血液が流れ込まないため、血圧は低下します。このような状態が続くと、やがてめまいや失神、息切れ、胸痛などの症状が出てきます。
大動脈弁閉鎖不全症は、大動脈弁が完全に閉まらないために起こる疾患です。弁口が完全に閉じないと、大動脈から左心室に血液が逆流し、やはり全身に血液を十分に送り込むことができません。無理して血液を送り出すため左心室に負担がかかり、やがて左心室が大きくなり、壁（心筋）ものびてしまいます。このような状態が続くと、動悸、息切れ、呼吸困難といった心不全症状が現れます。
大動脈弁狭窄症の多くは、大動脈弁とその周囲が加齢による変性（石灰化、動脈硬化）で狭くなるもので、動脈硬化性（老人性）大動脈弁狭窄症といいます。大動脈弁閉鎖不全症では、動脈硬化が原因であるもののほか、大動脈弁に近い大動脈に瘤ができて、それに弁がひっぱられて閉鎖不全を起こすことがあります。また、狭窄症、閉鎖不全症の原因のひとつに先天性の大動脈二尖弁があります。通常は三枚ある弁が生まれつき二枚しかないもので、一〇〇人に一人の割合であるといわれています。弁としての機能には異常はなく、ほとんどの人が一生気づかないままですが、一部の人で中高年になった頃に加齢による弁の石灰化（狭窄）あるいは周囲がゆるんで（閉鎖不全）発症することがあります。 　
増えている動脈硬化性の狭窄症
症状が現れたら外科的治療が必要

大動脈弁狭窄症、閉鎖不全症とも、初期には自覚症状がありません。症状が現れたときには病状がかなり進行しているため、すぐに治療が必要です。治療は人工的につくった弁を手術で取りつける人工弁置換術が主に行われます。動脈硬化性狭窄症では、冠動脈にも狭窄がある可能性が高いため、心臓カテーテル検査を行い、冠動脈狭窄の治療も同時に行います。
二尖弁や動脈瘤が原因の閉鎖不全では、弁を温存する手術が行われることもあります。
診断は聴診器による心雑音の聴取と超音波検査です。年一回はかならず定期健診をうけて、心雑音があったら専門医を受診するようにしましょう。」

画像：大動脈弁狭窄症の治療法は
薬物治療 （強心剤、利尿剤、血管拡張剤） ：軽症に
手術 （大動脈弁置換術） ：重症に
http://www.city.fujisawa.kanagawa.jp/hospital/html/con8_14_3.html　より Orz〜
画像：大動脈弁狭窄症の患者さんに対する大動脈弁拡張術
http://www.gcmc.pref.gunma.jp/clinic/service/junkanki.html　より Orz〜