アットランダム≒ブリコラージュ

1344：円

問題1344



















































解答

ライブ問にてまたいずれ v
例のものを使うわけですね ^^

球面過剰 S=R^2 (α+β+γ-π)

素敵な問題「球面三角形」から調べることになったんですが、、、^^;
以下のサイトが秀逸♪

http://www.irf.se/~futaana/Kiruna/50_Kyumen.html　より Orz〜
球面過剰　
「とりあえず一番求めたかったのは、球面の3点で決まる領域(球面三角という)の面積。具体的には、地球をイメージして、京都とキルナと昭和基地を考えたとき、それらを結ぶ三角形に囲まれた部分の面積を求めるわけである。球面においては2点を結ぶ線というのは無限に存在するが、ここで言う結ぶとは最短距離で繋ぐことだ。この線は球面の2点と中心を含む平面で球を切ることで求められる。これを大円という。

さて三角形の面積といえば、小学校で暗証した
＜ていへんかけるたかさわるに＞で求まるのだが、球面の場合はそういかないのは簡単に想像できる。
ということで上の図が出てくる。この点A,B,Cで決まる球面三角の面積を求めるのが目標である。・・・それにしても、インターネットは偉大だ。「球面三角」「面積」というキーワードで検索、閲覧すると、「球面過剰」というキーワードが怪しいことがわかり、再度「球面過剰」で検索すればその方法を記したページが出てくる。まさに検索サイトを使った伝言ゲームだ。

この理論、ほんとに単純明解だ。まずは、球面を2つの大円で切ったときにできる4つの切り口の面積を求めることからはじまる。上の図でいうと、ABを通る大円とACを通る大円で切ったときの切り口、つまり、S(ピンク)とSa(黄色)を足した部分の面積だ。

これは「明らかに」∠BAC(=αと置く)に比例するので、4πr^2*α/2π、つまり、S+Sa=2αr^2で求められる。

ということは、∠ABC=β、∠ACB=γを使うと、

(S+Sa)+(S+Sb)+(S+Sc)=2r^2(α+β+γ)

また明らかにS+Sa+Sb+Sc=2πr^2である。それはそれぞれの球面三角形と対称な球面三角形が一つずつあって、これらを全部足すと球全体 4πr^2 になるからである。

つまり、3S+Sa+Sb+Sc=2S+(S+Sa+Sb+Sc)=2S+2πr^2=2r^2(α+β+γ)であるから、

S=R^2 (α+β+γ-π)

となる。

・・・「球面過剰」とは、「球面三角形の内角の和と平面三角形の内角の和の差」という、日本語にするとややこしい定義であるという話だ。つまり (α+β+γ-π) が球面過剰なんだそうだ。この角度が面積と関わりがあるとは、、、やはり球面三角おそるべし。」

すごい♪
これを使えば、、、半端者さんが示された通り、、、
R=1 とおいて、S=(20+40+140-180)=20 なので、球面の面積４π＝4*180
720/20=36 個と求まりますね！

1343：天秤

問題1343

3842 g と 1377 g の重りがたくさんある。天秤にこれらを適当に載せて量れる最小の重さはいくらか？またそのとき、重りをどちらに何個載せたらよいか？































解答

under consideration...

・わたしの

まず、同じ重りが両方にあれば相殺されるから、、、それぞれの側には異なる重りだけが載っているはず。
次に、aM-bN=k
とするとき、(a,b,k)=1 であるはず。なぜなら、公約数があるならそれで割った重さは最小のkより小さくなってしまうから。
M,N の最大公約数をGとすると、aM-bN=G(aM'-bN')=k なので、存在する最小のkは、あるなら、k=G,aM'-bN'=1を満たせばよい、
(3842 ,1377)=(3842-2*1377=1088,1377)=(1088,1377-1088=289)
=(1088-3*289=221,289)=(221,289-221=68)=(221-3*68=17,68)=(17,68-4*17)
=(17,0)
3842/17=226,1377/17=81
a*226-b*81=1
b=(a*226-1)/81=2a+(64a-1)/81
64a-1=81b'
a=(81b'+1)/64=b'+(17b'+1)/64
17b'+1=64a'
b'=(64a'-1)/17=3a'+(13a'-1)/17
13a'-1=17b"
a'=(17b"+1)/13=b"+(4b"+1)/13
から、b"=3,a'=3+1=4,b'=3*4+3=15,a=15+4=19,b=2*19+15=53
つまり、19*226-53*81=4294-4293=1 で成り立つ！
結局、最小で量れる重さは、17 g
そのとき、3842 g の重りが 19 個、1377 g の重りが、53 個。^^

結構面倒くさいな。。。^^;