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問題1698
いつも鮮烈な問題を提示されてる日本のラマヌジャンこと(とわたしは呼ばせてもらってる)STAさんとこの問題です ^^v
http://blogs.yahoo.co.jp/sta_vanilla/56575334.html#56575334 より Orz〜
(1) 左辺が3個の連続した平方数となるような解はあるか?
あれば実例を、なければ存在しないことの証明を。
(2) 左辺が n 個(n≧3)の連続した平方数となるような解のうちn が最小となるものを提示してください。
(3) 左辺が 49 個の連続した平方数となるような解は次のものに限られることを示してください。
25^2 + 26^2 + 27^2 + ‥ + 73^2 = 357^2
解答
・上記サイトSTAさんのもの Orz〜^^v
(1) 結論から言えば、存在しない。即ち連続した3つの平方数の和からなる平方数は一つも存在しない。
*ここはわたしと同じだったので、、、わたしのをば,,,Orz
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=m^2
3n^2=m^2-2
mod 3 で考えると、m で満たすものはない。
(2) について、m 個(m≧2)の連続する平方数の和が単一の平方数となる解が存在する m の最小値は
既に見た通り2だった。結論から言えば、この次に条件を満たす m は 11 である。
(1) では m = 3 の解が存在しないことを示したが、連続4個、連続5個‥も解は存在しない。
ここで、以後の問題を見通しよくするために、一般式を導いておくことにする。
1 から n^2 までの n 項の平方和については、次の公式がある:
Σ(k=1 to n) k^2 = n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) / 6
( a + 1 )^2 から b^2 までの b - a 個の平方和が単一の平方数 c^2 に等しいとすると
( a + 1 )^2 + ( a + 2 )^2 + ‥ + b^2 = c^2
Σを使えば
Σ(k=1 to b) k^2 - Σ(k=1 to a) k^2 = c^2
となるから、先の公式を用いて展開・整理すると
ma^2 + m ( m + 1 )a + m ( m + 1 ) ( 2m + 1 ) / 6 = c^2
と表せる。但し m = b - a が平方数の連続個数である。
m = 4 のとき 4a^2 + 20a + 30 = c^2
法4で分類すると 2 ≡ c2 となるが、一般に n2 ≡ 0, 1 ( mod 4 ) だから解は存在しない。
m = 5 のとき 5a^2 + 30a + 55 = c^2
左辺は 5 ( a^2 + 6a + 11 ) と変形できるので、a^2 + 6a + 11 = 5d^2 となる整数 d が
存在しなければならない。
しかし a^2 + 6a + 11 ≡ a^2 + a + 1 ≡ 1, 2, 3 ( mod 5 ) であるから、この数は5の倍数にはならない。
したがって解は存在しない。
*以下同様にm=10 までは無いことが示され、、、
m = 11 のとき 11a^2 + 132a + 506 = c^2
左辺は 11 ( a^2 + 12a + 46 ) と変形できるので、a^2 + 12a + 46 = 11d^2 となる整数 d が
存在しなければならない。
左辺が 11 の倍数になる必要十分条件は a ≡ 4, 6 ( mod 11 ) である。
この条件を満たす a を小さい順に点検していき、a = 17 のとき d = 7 という最小解を見いだす。
したがって ( a + 1 )^2 から 11 連続する平方和が (7・11)^2 に等しいことが分かる。まとめると
18^2 + 19^2 + 20^2 + ‥ + 28^2 = 77^2
という 11 連続のものが最小解となる。
ちなみに、11 連続の場合のこの次に現れる解は a = 37 に対して生じる d = 13 である。
*ふ〜む、、、こりゃなかなか手強いですね・・・^^;v
(3) *これはわたしも似てたので、、、怖れながら、、、わたしのものをば ^^; Orz...v
まん中を n と置くと、、、
49*n^2+24*25*49/3=49*(n^2+200)=m^2
m=7k
n^2+200=k^2
k^2-n^2=200
(k+n)(k-n)=200
ここで、n >=25
200=25*8=50*4=100*2=200*1
k > n, k+n, k-n は偶数でないとだめなので、、、
(k,n)=(27,23),(51,49)
n > 25 を満たすものは n=49 しかない ♪
詳しくは以下のSTAさんのサイトへ Go〜!^^
http://blogs.yahoo.co.jp/sta_vanilla/56606468.html
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