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この関数は読んでみると、、、すごいものと直感しますね ^^;v
http://ja.wikipedia.org/wiki/メビウス関数 より
メビウス関数
「メビウス関数（メビウスかんすう）は、数論や組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand M?bius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。
定義
メビウス関数 μ(n) は全ての自然数 n に対して定義され、n を素因数分解した結果によって -1、0、1 のいずれかの値をとる。
メビウス関数は次のように定義される（ただし 1 は 0 個の素因数を持つと考える）：
μ(n) = 0 （n が平方因子を持つ（平方数で割り切れる）とき）
μ(n) = (-1)k （n が相異なる k 個の素因数に分解されるとき）
n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1
n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = -1
計算例
例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 22 × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。
n = 1, ..., 10 での μ(n) の値を示す：
μ(1) = 1, μ(2) = -1, μ(3) = -1, μ(4) = 0, μ(5) = -1, μ(6) =1, μ(7) = -1, μ(8) = 0, μ(9) = 0, μ(10) = 1
性質
メビウス関数は乗法的な関数である。すなわち、互いに素な m, n に対して、
μ(mn) = μ(m)μ(n)
となる。また、m, n が互いに素でなければ、
μ(mn) = 0
である。
基本公式
また次のような基本的な公式が成り立つ。
(*) 画像1
これは n = 1 のときは自明である。n が 1 より大きい場合について、平方因子をもつ因数 d については μ(d) = 0 であるから、n が無平方数である場合を見ておけばよい。n は k 個の素数の積であるとする。n の約数は、その素因数をいくつか掛け合わせたものになるが、偶数個（0 を含む）の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = 1 であり、奇数個の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = -1 となるから、因子の組合せの数を考慮すれば
画像2
が確かめられる。最後から二つ目の等号は二項定理による。
より一般に、 f を乗法的な数論的関数とすると、
(**)
? μ(d)f(d) = ? (1 − f(p))
d | n p | n
が成り立つ。
メビウスの反転公式
関数 f(n), g(n) について、次の 2 つの命題は同値である。
画像3
これをメビウスの反転公式という。
例と応用
n の約数の総和を表す関数 σ(n) はその定義より
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となるが、これに反転公式を適用すると
画像5
となる。
次の例は非常に重要な関数 Λ(n) を定義している（この関数はフォン・マンゴルトの関数と呼ばれる）。
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この式は、素因数の一意分解定理と同値であるが、反転すると
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となる。和の中を具体的に計算すると
画像8
が得られる。
先の基本公式 (*) に適用すれば、ゼータ関数による母関数表示を得る。
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エラトステネスの篩
既に知っている素数で割れる自然数を数表から篩い落とすことで新たな素数を順次決定していく操作はエラトステネスの篩として知られている。ゆえに、知っている素数で割れない自然数全体の集合を指定する方法が与えられることと、このエラトステネスの篩にかけることとは等価である。
集合を指定する方法の一つは、その特性関数を与えることである。いま、z 以下の全ての素数が分かっているものとして、そのような素数全部の積を P とする。また、自然数 n と P との最大公約数を (n, P) と表す。このとき、z 以下の素数で割れない自然数全体の集合を E とおくと、E の特性関数 χE は
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とメビウス関数を使って表せる。実際、n がp 以下の素数で割れないことは (n, P) = 1 となることに同値であり、これは基本公式 (*) そのものである。
したがって、x 以下のEの元の個数は、
画像11：（ここで Ad は x 以下の d の倍数の集合を表す）
と表すことができる。
z より大きい全ての素数は E に属しているので、結局エラトステネスの篩は、x 以下の素数の個数を表す関数 π(x) に関する公式
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に他ならない。特に z = n^ 1/2 のとき、等式が成り立つ。
|[n/d ]-n/d |< 1であるから、(**)を使って、
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が成り立つ。この公式を使って
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を証明することができる（ z=log n とおき、素数の逆数の和が発散することを用いる）。このエラトステネスの篩の定量化はルジャンドルによるもので、ふるい法の最初の定量的利用といえる。
しかし、この方法は 2^π(z) が z に比べて非常に大きく、小さな z に対してしか非自明な評価を与えることができないという欠点を持っている。
ヴィーゴ・ブルンはこの方法を改良し、より広い状況で非自明な評価を与えることに成功した。その後、アトル・セルバーク、ジョン・バークリー・ロッサーなどによって様々なふるい法が考案され、双子素数など、多くの数論上の問題の研究に広く応用されている。
一般に、集合 S に対して μ(S)=(-1)^|S| とおくと、
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が成り立つ。ここである集合 A とその部分集合 A1, A2, ..., An に対して、
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とおき、 E を A の元でどの Ai にも属さないものの集合とすると、
E の特性関数 χE は
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と表せる。したがって、
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と表せる。これは包含と除去の原理である。
μ(n)
μ(n) = 0 となる必要十分条件は、n が素数の2乗で割り切れることである。このような n の数列は次のようになる。:
4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44,
45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ...
n が素数であれば、μ(n) = −1 となる。しかし、逆は成り立たない。最初に μ(n) = −1 となる合成数 n は30 = 2?3?5 である。3つの異なる素数の積からなる数（楔数という）からできる数列は次のようになる。:
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154,
165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ...
同様に5つの異なる素数の積からなる数列は、 :
2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630,
7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, 9870,
10010,10230,10374,10626,11130,11310,11730,12090,12210,12390,12558,12810,
13090,13110, ...
上の数列と似ているが、5種類の素数の積で表される（素数の 2乗で割り切れてもよい）数列である。 この中にはμ(n) = 0となるnも含まれる。例えば、4620 = 2??3?5?7?11であり、μ(4620) = 0である。 :
2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4620, 4830, 5460, 5610, 6006, 6090, 6270,
6510, 6630, 6930, 7140, 7410, 7590, 7770, 7854, 7980, 8190, 8580, 8610,
8778, 8970, 9030, 9240, 9282, 9570, 9660, 9690, 9870,10010,10230,10374,
10626,10710,10920,11130, ...」
やっぱり！エラトステネスの篩が式で表せれば、素数の数も求められるんだ♪
ま、当然だけど、、、^^;
いずれにせよ、このメビウス関数を自家薬籠中のものにして、ここに書いてることが分からないことには話にならない。。。m~~m v
画像：最上：メビウス
http://ja.wikipedia.org/wiki/アウグスト・フェルディナント・メビウス より
アウグスト・フェルディナント・メビウス
「アウグスト・フェルディナント・メビウス（August Ferdinand M?bius、1790年11月17日 - 1868年9月26日）は、ドイツの数学者（専門はトポロジー、整数論など）、理論天文学者。 ザクセン＝アンハルト地方生まれ。 ライプツィヒ大学教授。 カール・フリードリヒ・ガウスに師事した。
「メビウスの帯」（M?bius band、メビウスの輪ともいう）の発見で有名。
また彼の名をとったメビウス関数（メビウス変換ともいう）は、射影幾何学の重要な関数のひとつである。彼の名をとった小惑星もある（小惑星28516）。」
画像：最下：ルジャンドル
http://ja.wikipedia.org/wiki/アドリアン＝マリ・ルジャンドル より
アドリアン＝マリ・ルジャンドル
「アドリアン＝マリ・ルジャンドル（Adrien-Marie Legendre, 1752年9月18日 - 1833年1月10日）はフランスの数学者。統計学、数論、代数学、解析学で様々な功績を残した。
ルジャンドルの研究は多くの数学者に受け継がれ、様々な理論が生み出された。例えば、アーベルの楕円関数論の研究や、ガウスによる統計学や数論の研究などは、ルジャンドルの仕事が元となっている。
1825年にフェルマーの最終定理の n = 5 の場合の証明を与えた。因みに、この証明は1828年のディリクレの証明と殆ど同じだったが、独立に証明された。数論では、オイラーによって予想された平方剰余の相互法則もガウスと独立に証明し、素数の分布に関する研究や解析学の数論への応用などがある。1796年に素数定理を予想し、1798年に出版した本で発表している。この定理は、1898年にジャック・アダマールやド・ラ・ヴァレ・プーサンによって証明される。ルジャンドルは、楕円積分の分類など、楕円関数論に関連する研究も多く行っているが、ヤコビやアーベル、ガウスの到達した逆関数の重要性にまでは気付いていない。解析力学では、ラグランジアンからハミルトニアンを導く時に用いるルジャンドル変換に、その足跡を残している。」
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