アットランダム≒ブリコラージュ

1342：ダイアル数

問題1342
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/31666541.html　より Orz〜

１４２８５７という数はちょっと変わってます。
１４２８５７×２＝２８５７１４
１４２８５７×３＝４２８５７１
１４２８５７×４＝５７１４２８
１４２８５７×５＝７１４２８５
１４２８５７×６＝８５７１４２
２から６までの数をかけても、登場する数とその並び方は変わりません。
じゃあ７をかけるとどうなるか？。
それとこの数の並びはどこからでてきたのか？


















































解答

under consideration...

1341：フィボナッチ

問題1341
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/32012058.html　より Orz〜

１　１　２　３　５　８　１３　２１　３４　５５　・・・・
数列というのはある規則に従って数を並べたものです。上の数列の並べ方の規則は分りますか？
隣り合う二つの数を加えて次の数を作るというのがルールです。
式で書けば、ａ_(n+2)＝ａ_(n+1)＋ａ_n
この数列はいろいろなところで顔を出すのですが、今日は最初の１０項の和を計算してみましょう。

１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＋３４＋５５＝１４３
気がつきにくいのですが、７番目の１３の１１倍になっています。
スタートの数字を変えてみましょう。１と３から始めましょう。

１　３　４　７　１１　１８　２９　４７　７６　１２３
これも足してみます。

１＋３＋４＋７＋１１＋１８＋２９＋４７＋７６＋１２３＝３１９
これも７番目２９の１１倍となっています。・・・

なぜそうなるか説明しなさい。






































解答

under consideration...

水田の数

こんなサイトを見つけました^^

http://www.magicvox.net/archive/2007/05092011/　より Orz〜
不思議な数字 〜 水田の数
「鏡数と非鏡数

はじめに「鏡数」について説明します。 この単語は水田の数(後述)の発見者である 水田氏の造語で， 数字列の上桁(左側)と下桁(右側)からの各桁の数字並びが同じものを言います。 例えば，12321や246642は鏡数ですが，1234や1210は鏡数ではありません (仮に非鏡数と呼んでいます)。

水田予想

水田氏は，非鏡数についても以下の操作を繰り返し行なうことで， 最終的には必ず鏡数になる(鏡数に収束する)のではないかという予想を立てました。 この予想を勝手に「水田予想」と呼んでいます。

任意の桁数の正の整数A(仮に始祖数と呼んでいます)を考えます
その数を左右反転(?)した数B(仮に反転数と呼んでいます)を考えます (例：1357→7531)
A+Bを計算します
その答えが鏡数でなければ2,から繰り返します
例１：1976
1976 + 6791 = 8767
8767 + 7678 = 16445
16445 + 54461 = 70906
70906 + 60907 = 131813
131813 + 318131 = 449944 (鏡数に収束)
例２：1200
1200 + 21 = 1221 (鏡数に収束)
反転数を作る際に下桁が0だった場合には桁落ちが発生します。

水田の数

殆どの始祖数は数回，多くても数十回の操作で鏡数に収束するようですが， 有限回の操作で鏡数に収束しない始祖数のことを仮に水田の数と呼ぶことにしました。 例えば始祖数196は10000回以上の操作を繰り返しても鏡数になりませんので， 水田の数の可能性があります。
簡単なPerlスクリプトを利用して水田の数の候補を探してみたところ， 以下の始祖数は少なくとも100回の操作では鏡数に収束しないことがわかっています。

295(592)
394(493)
689(986)
691(196)
788(887)
790
879(978)
水田予想では，全ての始祖数は鏡数に収束すると予想していますが， この予想が正しいのか，当時， 高校生だった私たちでは答えが出せませんでした(今でも無理ですが)。 そしてもし鏡数に収束しない始祖数(＝水田の数)が存在するのであれば， 水田の数に規則性はあるのか？という疑問が沸いてきます。 数学に詳しい方などいらっしゃいましたら文献などお教えくだされば幸いです。」

おもしろいですね♪
わたしも何か見つけてみようかしらね・・・^^

画像：五角六十面体・・・水田の数とは関係ありませぬ。。。^^;
http://ja.wikipedia.org/wiki/五角六十面体
「五角六十面体（ごかくろくじゅうめんたい、pentagonal hexecontahedron）とは、アルキメデス双対の一種で、変形十二面体の双対多面体である。変形十二面体と同じく鏡像がある。」

カプレカ数

いろんな不思議な数を見つけるものですね。。。^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/カプレカ数　より

「カプレカ数（Kaprekar Number）とは、
1. 整数を2乗し、前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
2. すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。

定義1
整数を2乗し、前のn桁と後ろのn桁または(n+1)桁に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
たとえば、297は、2972 = 88209であるが、これを前の２桁88と後ろの３桁209に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、カプレカ数である。
この定義でのカプレカ数は、小さなほうから 1、9、45、55、99、297、703、……となる。
* 142857は、25 番目のカプレカ数であり 142857^2 = 20408122449、20408 + 122449 = 142857 となる。ひとつ前は 99999、次は 148149。

定義2
すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。
この定義において、4桁のカプレカ数は6174である。最初の数として2005を取ったとき、
5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
となり、6174に収束する。どのような4桁の数でも最終的に6174になることが確認されている。 同様に3桁で最初に 685を使った場合、 893を使った場合、
865 - 568 = 297　 983 - 389 = 594
972 - 279 = 693　 954 - 459 = 495
963 - 369 = 594　 954 - 459 = 495
954 - 459 = 495　
954 - 459 = 495
となり、495である。 ちなみにこの定義でのカプレカ数は全て9の倍数である。（証明は容易【ヒント:mod9で考えること】）」

http://blog.livedoor.jp/yacovo135/archives/51030410.html　より Orz〜

「【カプリカ数】6174の不思議
ぞろ目でない４ツの数字を思い浮かべて下さい。
（大きい順に並べる）−（小さい順に並べる）
７回以内に6174になります
これはインドの数学者カプリカが見つけたのでカプリカ数と呼ばれています。
数字も面白いですね！あと不思議なのは１から１０を数える時、１から数えると７は（しち）か（なな）なんだけど、１０から数えたときは７は（なな）になっちゃうんですね…　」

http://cos.cocolog-nifty.com/cosmos/2004/02/post_7.htmlより Orz〜

「2桁の場合はひとつの数ではなくいくつかの数をくり返す　27-45-09-81-63-27の順に循環　」

なぜそうなるのか考えてみたけど、、、諦めました。諦めが早いのがわたしの得意技 ^^
abcd-dcba=一定
999*(a-d)+90*(b-c)=一定
a?b?c?d なるもので、上の式からの数が、a,b,c,d になるものが存在することが言えればいいとは思うのですが、、、計算だから、、、パソコンにやらせればいいということかな・・・？

画像：パプリカ・・・カプレカとは何ら関係ございません。。。Orz...


「パプリカ（英:Paprika、学名:Capsicum annuum cv.）はナス科の多年草であるピーマンの一品種。また、その果実および果実から作られる香辛料のこと。肉厚で辛みが無く甘い品種で甘味唐辛子とも呼ばれる。日本で流通する果実の多くは赤や黄色であるが、紫・黒・茶などの品種もある。

概要
植物としての特性はピーマンを参照のこと。トウガラシ属、ピーマンの品種の一つ。唐辛子の主な辛み成分のカプサイシンが劣勢遺伝子のため、果実は辛みをもたない。南アメリカが原産で、気候変化に強く世界中で育つが、よい香りに育つには暖かさが必要である。パプリカの品種をつくり育てたのはハンガリーで、現在も一大産地と知られる。ハンガリー料理にパプリカは欠かせない存在で、シチュー料理グヤーシュをはじめ、数多くの料理に用いられ、かつては国をあげてパプリカを生産保護していた程であった。アメリカでの主な産地はカリフォルニア州とテキサス州。
果実はピーマンと同様の形状・形態をもつが、ピーマンが青い時期に収穫するのに対し、熟してから収穫を行う。そのため収穫までの時間がかかり、また様々な被害を受けやすくなるため収量が劣る。果実はやや大型となり、辛みが無い、もしくはほとんど無い。果皮はやや硬いが果肉は瑞々しく肉厚で糖度が高い。
果実は加熱調理するほか生でも食べられる。栄養素の構成もピーマンに似るが、ビタミン様物質の一種であるビタミンPを含んでいる。ビタミンPはビタミンCを壊れにくくし、またその抗酸化作用の性質を高める効果をもつため、加熱調理してもビタミンCが失われにくい。
スパイスとしてのパプリカは、種子を取り除いた赤いパプリカを乾燥させ、粉末化したものである。唐辛子にも似た独特の風味を持つが、味や風味が穏やかなため、大量に投入しても料理の味を損なうことは無いと言われる。鮮やかな赤色で、黒く焦がさない限りは調理しても赤味を保つため、料理を彩る色彩としても用いられる。
赤ピーマンは、しばしばパプリカと混同されることがあるが、赤ピーマンはピーマンとほぼ同じ品種で、完熟させて収穫したものである。通常のピーマンも完熟させれば色が変化して辛みが薄れ甘みが増す。

名称
パプリカは、コロンブスによってヨーロッパへ持ち帰られた。この時、当時のヨーロッパで胡椒が珍重されていたことから、"pepper"（胡椒および唐辛子の意味）の名が付けられた。果実の呼び名は国毎に異なり、「胡椒」と「唐辛子」のどちらかで呼ばれている。イギリスでは単純にpepperだが、イギリス連邦では"capsicum"（唐辛子）と呼んでいる。アメリカ合衆国では果実と品種を"Bell pepper"と呼んでいるが、その色合いから"red pepper"の呼び名も通じる。ロシアではブルガリアの胡椒を意味する"болгарский(bolgarskiy perets)перец"。フランスは例外でピーマンと一括りにされ"Poivron"と呼ばれている。
この果実から作られる香辛料は"paprika"と呼ばれる。これは、唐辛子全般を指すハンガリー語が転用された呼び名である。 日本では品種も果実も香辛料も全てパプリカと呼ばれている。」

* 唐辛子（とうがらし、唐芥子、蕃椒）は、トウガラシ属 (Capsicum) の栽培種の果実から得られる辛味のある香辛料。広義にはピーマン、シシトウ、パプリカなど辛味がないかほとんどない品種（甘唐辛子）も含む・・・

ピーマンとどこが違うのか、、、よくわからない ^^;

1340：方程式

問題1340
http://blogs.yahoo.co.jp/beitasaka0103/22354842.html#22354842　より Orz〜

ｘの２次方程式ｘ^2−ｍｎｘ＋ｍ＋ｎ＝０（ただし、ｍ、ｎは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個あるか。

















































解答

上記サイトより Orz〜

２解をα、βとおけば、解と係数の関係より
　　　　　　　α＋β＝ｍｎ　・・・・・・(あ)
　　　　　　　　αβ＝ｍ＋ｎ　・・・・・(い)
　　　　ｍ、ｎが自然数なので、α、βも自然数である。
　　　　(あ)−(い)より、
　　　　　　　α＋β−αβ＝ｍｎ−(ｍ＋ｎ)
　　　　これを変形すると
　　　　　　　２−(α−１)(β−１)＝(ｍ−１)(ｎ−１)
　　　　α、β、ｍ、ｎは自然数なので、(α−１)(β−１)≧０、(ｍ−１)(ｎ−１)≧０
　　　　よって(ｍ−１)(ｎ−１)＝０，１，２
　　　　
　　　　(ア)(ｍ−１)(ｎ−１)＝０の場合、ｍ、ｎの少なくとも一つが１なので、　
　　　　　　ｍ＝１とおけば、(あ)(い)式は
　　　　　　　　　α＋β＝ｎ
　　　　　　　　　　αβ＝１＋ｎ
　　　　　　ｎを消去すれば、
　　　　　　　　　　αβ＝１＋α＋β　⇔　(α−１)(β−１)＝２
　　　　　　α、βは自然数なので
　　　　　　　　(α，β)＝(２，３)，(３，２)
　　　　　　このときｎ＝５となる。
　　　　　　元の方程式はｘ^2−５ｘ＋６＝０なので、題意をみたす。

　　　　(イ)(ｍ−１)(ｎ−１)＝１の場合、ｍ＝ｎ＝２なので元の方程式は
　　　　　　　　ｘ^2−４ｘ＋４＝０　⇔　(ｘ−２)2＝０
　　　　　　これは題意をみたしている。

　　　　(ウ)(ｍ−１)(ｎ−１)＝２の場合、(ｍ，ｎ)＝(２，３)，(３，２)なので元の方程式は
　　　　　　　　ｘ^2−６ｘ＋５＝０　
　　　　　　これは題意をみたしている。

　　　　以上より題意のような方程式は３個ある。


なるほど！スマート♪