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展開図の話。。。^^v
http://ja.wikipedia.org/wiki/展開図 より
「立方体の展開図 画像：1
立方体の展開図は、次の11通りあることが知られている。
立体の展開図の表 画像：2
一対の2面を、天井,床、他の面を壁などに見立てるなど、属性を与えると捉えやすい。また、これらは次の表のようにすると、掌握しやすい。
対応する点を結んだ図 画像：3
展開図における凹んだところを中心に、対応する頂点を波紋のように線で結んでいくと、対応する点、辺などがわかりやすい。
立方体を切断した立体 画像：4
立体の展開図で、組み立てたときの立体の様子が、展開図からだけでは想像しにくいときには、基本的な立体を切断したものであろう。というように、予想を立てて想像すると、簡単に想像できることが多い。
すなわち、次のようにイメージするとよい。
画像：5 」
以下のサイト参照 ^^
http://hiramekimama.blog116.fc2.com/blog-entry-20.html
母も頑張る中学受験
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/550_ak.htm より Orz〜
正多面体の展開図と秋山の定理
「正多面体の展開図を描いてみる．正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．
立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．正八面体は立方体の双対図形であるから，展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体も互いに双対図形であり，展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．
以上は正多面体を辺に沿って切ったときの展開図である．これだけでも何種類もの展開図ができるのだが，辺に沿ってではなく，たとえば紙でできた中空の正四面体をハサミで好き勝手に切って平面に展開することを考えてみよう．
このときハサミがすべての頂点を通らなければ平面に広げることはできないから，その条件だけは満たさなければならないが，これにより展開図の種類は無限になる．
秋山の定理
展開図のコピーをジグソーパズルのようにくぼんだ所に出っ張ったところをピッタリはめ込み，平面を隙間もなく重なりもなく敷き詰めることができるとき平面充填図形という．どのような条件を満たすとき，この平面展開図は平面充填可能な図形になるのだろうか？
［１］正四面体は好き勝手に切っても，辺に沿って切っても平面充填図形になる．
［２］立方体と正八面体は辺に沿った展開図はすべて平面充填図形になるが，勝手に切り込みを入れた展開図は平面充填図形にならない．
［３］正十二面体は正五角形でできているからたとえ辺に沿って切ったとしても平面充填図形にはならない．正二十面体は正三角形でできているが，好き勝手に切っても，辺に沿って切っても平面充填図形にはならない．
［４］任意の多面体に対する結果については，
Jin AKIYAMA: Tile-makers and semi-tile-makers, Amer. Math. Mon. 114(7), 602-609
を参照されたい．」
平面充填図形に関してはまた調べてみようっと ^^v
http://ja.wikipedia.org/wiki/双対多面体 より
双対多面体
「双対多面体（そうついためんたい）、または単に双対とは、数学において、ある立体の頂点の数と面の数を入れ替えた立体のことをいう。自身と双対関係にある多面体を自己双対という。
正多面体の双対関係
正多面体の双対はまた正多面体になる。その関係は、
正四面体⇔正四面体（自己双対）
正六面体⇔正八面体
正十二面体⇔正二十面体
となる。・・・」
画像：最下：正六面体と正八面体の双対関係
双対図形の展開図は1体1に対応するはずだから同じ数だけあるというのは納得できるか。。。^^;
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