アットランダム≒ブリコラージュ

1351：組み合わせ

問題1351

6人の子供が、2人1組になって3組に分かれます。このような分かれ方は何通りありますか？
できれば算数で。。。^^













































解答

ライブ問にてまたいずれ v

1350'：ガウスの格子点の解答^2

問題1350の解答です。^^v
http://www.junko-k.com/collo/collo228.htm#1711　より Orz〜

・夜ふかしのつらいおじさんのもの Orz〜

質問１

格子点の個数を横に数えることにします。
図は、半径２からｎの同心円を表しています。
P(n)の個数を数えるのに、線分Ｐ1Ｑ1、Ｐ2Ｑ2、 ・・・、Ｐn-1Ｑn-1の上を数えていきます。

質問２

次の計算より求まります。

これは考えてみると当然のことといえます。
分子のP(n)は扇形の中の１辺１の正方形の個数にあたります。
分母のｎ2はその扇形に外接する正方形の面積にあたります。
だからその極限値は半径１の扇形の面積になります。

質問５

Ｒ（３）＝Ｒ（７）＝Ｒ（１１）＝０です。
Ｒ（Ｎ）は、原点が中心で半径が√Ｎの円周上の格子点の個数です。
ｘ^2＋ｙ^2＝ＮでＮが奇素数であるとすると、 ２数x^2とy^2は奇数と偶数になります。
ｘ^2を奇数、ｙ^2を偶数としてみます。
すると、ｘは奇数、ｙは偶数になります。
そこで、ｘ＝２ｍ＋１、ｙ＝２ｎとおきます。
ｘ^2＋ｙ^2＝（２ｍ＋１）^2＋（２ｎ）^2 ＝４×（ｍ^2＋ｍ＋ｎ^2）＋１
となるので４ｋ＋３の形の素数のときは、格子点にはなりません。

質問６

Ｒ（Ｎ）は、原点が中心で半径が√Ｎの円周上の格子点の個数です。
Ｒ（２Ｎ）は、原点が中心で半径が√(２Ｎ)の円周上の格子点の個数です。
右図で点Ｐを半径√Ｎの円周上の点とします。
点Ｐが格子点なら座標を（ｍ，ｎ）と表せます。
点Ｐは、原点Ｏから右にｍ、上にｎいった点です。
そのＰから上にｍ、左にｎいった点をＱとすると、Ｑは格子点です。
また△ＯＰＱは直角二等辺三角形です。
すると、ＯＱの長さは、√(２Ｎ)です。
つまりＰが格子点なら、Ｑも格子点です。
点Ｐが格子点でなければ、Ｑも格子点ではありません。
格子点でないところから単位の長さの移動では格子点に乗ることができません。
このように対応を考えると、半径√Ｎの円上の点と 半径√(２Ｎ)の円上の点とが１：１になります。
だから、Ｒ（Ｎ）＝Ｒ（２Ｎ）です。

質問７

右の図で実線も点線も間隔が１であるとします。 点線で囲まれる単位面積の正方形の中に 格子点がちょうど１つずつ含まれています。 これは格子点の個数と面積とが等しいことを表しています。 格子点をもれなくだぶりなく数えればその面積を求めることができます。
この問題でＲ（Ｎ）は原点からの距離が√Ｎである格子点の個数を与えています。 格子点（ｍ，ｎ）の原点からの距離は、
　　　
なので必ず自然数ｍ^2＋ｎ^2の平方根の形になります。 問題の式の分子は、原点に近いところから格子点の個数を数えています。 つまり、半径√Ｎの円の面積をあたえます。 分母は、１辺√Ｎの正方形の面積です。 以上から極限値はπに収束します。
下の図は、Ｒ（Ｎ）／４の個数をだぶらないように単位の正方形の中に打点していったものです。

質問４

Ｒ（５）＝８　　格子点は、（±１，±２）、（±２，±１）
Ｒ（１７）＝８　　格子点は、（±１，±４）、（±４，±１）
Ｒ（２９）＝８　　格子点は、（±２，±５）、（±５，±２）
この証明は難しいです。 ガウス素数を簡単に説明できれば良いのですが手に余るので止めます。


図があるだけわかりやすそう。。。♪
これから熟読玩味をば〜^^;v

1350'：ガウスの格子点の解答

問題1350の解答です。^^v
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html　より

・新俳人澄朝さんのもの Orz〜

なんだか圧倒されます、、、熟読玩味・・・^^:v

1350：ガウスの格子点

問題1350
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html　より Orz〜

３大数学者の一人であるドイツのカール・フリードリヒ・ガウス（1777〜1855年）がこの極限値を求めています。











































解答

次にアップしますね v