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ベキ和の求めかたの公式覚えれないですよね？^^;
わたしはいつも、、、たとえば、、、Σn^2 なら、
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 から、
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
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・
・
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
の両辺を足して、、、
(n+1)^3-1=3*Σn^2+3*Σn+n から、
Σn^2=((n+1)^3-(n+1)-3n(n+1)/2)/3
=(n+1)(2n^2+4n+2-2-3n)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
って、求めてたけど、、、^^;
もっと簡単な方法があるんですね♪
http://www.nikonet.or.jp/spring/sigma/sigma.htm より Orz〜
「次の和を求めてみようか。画像１
数列{k(k+1)}を展開するのではなくて、次のように変形するんだ。画像２
この式が正しいことは、右辺を共通因数k(k+1)で括って因数分解してみると簡単に分かるね。
さて、ところでこの右辺の式は左辺のk(k+1) が連続する３整数の積に分解できたことを表している。こうやって分解すれば、平方数・立方数の和の公式を使わなくても実は数列の和は求められるんだ。実際、k=1からk=nまでの数列の値を順番に抜き出していくと、画像３
例えば画像４の問題は、画像５のようにすれば求まる。
いまはk(k+1)という連続する２つの整数の積について分解したけれど、では連続する３つの整数の積k(k+1)(k+2)についてはどう変形できるだろう。
同じように考えて、前後に(k-1)と(k+3)を挟んでやると、画像６
これから、画像７となります。
どうだろう、拡張性が見えてきたね。同様に考えていけば、画像８となるはずだ。
そうすると、連続する整数の積をつくればもうベキ和の公式は必要なくなる。
数列がnの1次式や2次式であれば、連続する整数の積に分解することは簡単にできる。
たとえば、k^2+2k+3=k(k+1)+k+3 のように変形すればよいわけだ。
これを利用してベキ和の公式を求めてみましょう。画像９、10
次に、k^4ですが、これはちょっと工夫が必要です。
k^4=(k^4-k^2)+k^2=(k-1)k(k+1)k+k^2=(k-1)k(k+1)(k+2)-2(k-1)k(k+1)+k^2
画像11
同様に、画像12
k^5=(k^5-k^3)+k^3=(k-1)k(k+1)k^2+k^3=(k-1)k(k+1)(k^2-4)+4(k-1)k(k+1)+k^3
=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)+4(k-1)k(k+1)+k^3
さて、ところで、上述の方法は、連続する整数の積を利用して和を求めているわけですが、奇数のベキ和に関しては、もっと巧く和を求めることができます。
k^2(k+1)^2-(k-1)^2k^2=k^2{(k+1)^2-(k-1)^2}=4k^3
このように、連続する２つの平方数の積を作ると、画像13
k^3(k+1)^3-(k-1)^3k^3=k^3{(k+1)^3-(k-1)^3}=k^3(6k^2+2)=6k^5+2k^3
画像14
k^4(k+1)^4-(k-1)^4k^4=k^4{(k+1)^4-(k-1)^4}=k^4(8k^3+8k)=8k^7+8k^5
画像15
k^5(k+1)^5-(k-1)^5k^5=k^5{(k+1)^5-(k-1)^5}=k^5(10k^4+20k^2+2)=10k^9+20k^7+2k^5
画像16
この変形により奇数のベキ和に関しては、容易に求められることがわかります。
では、偶数のベキ和はどうすればいいのでしょう。エレガントな求め方をしっている人がいたら教えて下さい。
なお、このベキ和の問題は、上述の解法をみても帰納的定義、二項定理が絡んでいることが分かります。それを発展させた形としてスイス人のベルヌーイはその著書「確率論」で次のようにベキ和についてまとめています。
画像17
ここで、pが偶数のときは、m=p/2 でありpが奇数のときは、m=(p-1)/2 となります。
また、係数Bkはベルヌーイ数とよばれ、逐次pに数値を代入していくとその値が得られますが、次の関係式でも知られています。
画像18
さて、これらの式から、pのベキ和はnに関するp+1の高次式となり、n^(p+1),n^pの係数はそれぞれ、, 1/(p+1), 1/2 であり、最後の項はpが偶数のときは2次、pが奇数のときは1次式であることが分かるでしょう。
ところで、本文中、ベキ和については何の共通性もない云々の説明をしていますが、それは背景が難しすぎるという意味で共通性、発展性が見えないというだけです。ここから生まれるベルヌーイ数は無限級数の和においても中核的な働きをしていきます。すべてはベキ和から始まったといえるでしょう。」
ベルヌーイ数がでてくるなんて（実はよく知らないんですが、^^; よく耳にする数なんですよ！）、、、なんだかすごい、、、熟読玩味しなければ。。。^^ ♪
画像：最下：ヤコブ・ベルヌーイ
http://ja.wikipedia.org/wiki/ヤコブ・ベルヌーイ より
「ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654年12月27日 - 1705年8月16日）は、ヤコブ、ジャック、あるいはジェームス・ベルヌーイとしても知られるスイスの数学者・科学者。ヨハン・ベルヌーイの兄である。スイスのバーゼルの生まれ。ヤコブ・ベルヌーイは、1676年に英国に旅した折にロバート・ボイルとロバート・フックに会い、その後、科学と数学の研究に一生を捧げることになった。1682年からはバーゼル大学で教鞭をとり、1687年には同大学の数学の教授に就任する。彼は、ゴットフリード・ウィルヘルム・ライプニッツと交流をもちライプニッツから微積分を学び、弟のヨハンとも共同研究を行う。 彼の初期の業績である超越曲線(1696)とisoperimetry (1700, 1701)はこの共同作業がもたらした成果である。Ars Conjectandi, Opus Posthumum (推測法、1713)は、彼の確率論の偉大な貢献である。ベルヌーイ試行とベルヌーイ数はこの著作から、彼の功績を記念して名づけられた。」
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