アットランダム≒ブリコラージュ

超越数

以下のサイトより。。。Orz〜^^v
http://www.junko-k.com/collo/collo227.htm#1707
無限次代数方程式と超越数 　　2008.1.28　　
K.F.さんのもの Orz〜

「実数が有理数と無理数からなることは、高校生なら知っています。無理数が代数的(無理)数と超越数からなることは、理科系の数学が好きな大学生なら知っています。
ここで代数的数とは、有理係数代数方程式
　　　anxn+an-1xn-1+･･･+a1x+a0=0(n≧1,an≠0かつ各aiは有理数）　　　・・・式.1
の解となる数のことで、全ての有理数および などの無理数がそれにあたります。
一方、超越数とは、式.1の代数方程式の解とならないような実数(正確にいえば複素数)のことで、 代表的な超越数には、ネイピア数ｅや円周率πがあります。 また、高校で学ぶ √2^√2 も超越数です。
ところが、ここでいう代数的数とは、あくまで式.1の代数方程式の次数が「有限」の場合の解となる 数のことであって、次数が「無限大」の場合には、その解が超越数となる場合があります。
例をあげると、三角関数 sin x をTaylor展開すれば、
画像１
　　　
となりますが、 sin x=0 という方程式を考えると、その解は、
　　　x=0,±π,±２π,±３π,・・・
となります。といことは、
画像２
　　　
という次数が無限大の代数方程式の解は、±π,±２π,±３π,・・・ということになり、 全て超越数になります。
有限集合で成り立つことが、無限集合では成り立たないことは、 カントールの集合論により、よく知られています。また、無限回の操作を許せば、定規とコンパスだけで与えられた角の３等分もできます。 こうしてみると、無限という概念は、人間が考えた最も興味深い概念だとつくづく思います。
ところで、この問題の「逆」は成り立つのでしょうか？　すなわち、「全ての超越数」は次数が無限大の 代数方程式の解として表されるのでしょうか？　興味深い問題です。

式.2〜式.3の結果から、
画像３
　　　
と書き表されることがわかります。ここで、式.4の右辺を展開し、x^2の項を比較すると、
画像４
　　　
であることがわかり、
画像５
　　　
が成り立つことから、
画像６
　　　
であることがわかります。 これも非常に興味深いことです。」

オイラーさんはこうやってζ(2)=π^2/6 を求めたんですよね ♪


画像：オイラー
http://www.kyouiku.tsukuba.ac.jp/~miya/HomePage/euler.html　より Orz〜
「オイラー（1707-1783）
オイラーはスイスのバーゼルで、 牧師の子として生まれた。 彼の父は息子オイラーを、自分と同じように 村の牧師にしようと考え 教育していたが、 うっかり数学の手ほどきをしてやったばかりに、 この過ちがオイラーを 18世紀最大の数学者にしてしまった。
オイラーは筆達者な作家が親友に手紙を書くのと同じぐらい やすやすと、偉大な研究論文を書いた。 その生涯最後の17年間は、全くの盲人であったけれども、 彼の未曾有の生産能力は少しも衰えることなく、 彼の書いた著作や論文は 超人的な量にのぼり、実に膨大なものである。
オイラーは、どんな環境でもどんな場所でも 仕事のできる数学者の一人であった。 彼は子供好きで、赤ん坊をひざに乗せ、 子ども達をまわりで遊ばせながら 研究報告書を書くこともたびたびであった。 彼は、今日使われているいろいろな数学の記号や用語を 導入している。円周率の π や自然対数の底 e , 虚数単位 iも 彼がはじめて使った。
オイラーの公式 e±iθ＝cosθ±isinθ　はあまりにも有名である。」

こんな腕時計があるんだ ^^v
http://www.ts-horiuchi.jp/sp/oris/2007_l_euler_l_e_sp.html　より Orz〜
オリス「数独」スタイルを考案した“レオンハルト・オイラー”生誕記念発売
Leonhart　Euler　Limited　Edition　レオンハルト・オイラー　リミテッド　エディション

「「数独」スタイルを考案した“レオンハルト・オイラー”生誕記念発売
オイラーの肖像は旧10スイスフラン紙幣や切手などに描かれたことはありますが、いよいよ2007年は時計にも登場することになりました。オリス社はスイスが生んだ偉大な数学者“レオンハルト・オイラー”の生誕300周年を記念したモデルを発表します。レオンハルト・オイラー（1707ー1783）は現代の工業技術の基礎を築いたことで高名で、実用性の分野では、ニュートンやアインシュタインと並ぶ自然科学のパイオニアとして君臨しています。
機械式時計“オリス　レオンハルト・オイラー　エディション”は、オイラーの最初のマスターピース“mechanica”（力学）で新たに複雑な数学の世界を切り開いた偉大な人物と深く関わっています。このエクスクルーシブなウオッチは1707年の彼の生誕年に因み1707本世界限定でケースバックには固有ナンバーとオイラーのポートレートがエングレープされています。スクエアケースは、ラテン方陣（オイラー方陣ともいう：各記号が各行おやび各列に一回だけ現れるように並べたもの）をシンボライズしており、ダイアルはオイラーラテン方陣のアワーインデックスをベースとしたナンバーパズルでお馴染みの“数独”を模倣したスクエア模様になっています。この秀逸な時計はファインレザーストラップ付です。オリス　レオンハルト・オイラー　リミテッド　エディション　−時計愛好家やコレクターの為のハイーメカを搭載したオイラーへのトリビューモデル。」

スイスの時計メーカーも粋なことをされますね♪
やっぱり数学好きな方の腕に巻かれるんでしょうかしらね。。。？

http://ja.wikipedia.org/wiki/アペリーの定理　より
「アペリーの定理（アペリーのていり）とは、ζをリーマンゼータ関数としたとき、ζ(3)は無理数である、という定理である。1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しない裡に、この事実の証明を発表した。アペリーの証明は、一箇所手計算では出来ないところが含まれているといわれており、またその方法が未だに他のζの奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは疎遠に、独自でこの方法を開拓した。Zudilinは、ζ(5), ζ(7), ζ(9),ζ(11), の内、少なくとも一つは無理数であることを示した。」「彼は1916年にルーアンで生まれ、1994年に病死した。生前はカン大学に勤めていた。1977年、彼は立方数の逆数和が無理数になるという証明で、思いがけず数学会に衝撃を与えた。それまで彼は、自分の名を広める定理が何一つとして無かったので、その輝かしい経歴にもかかわらず、自身を「フランスで最低な数学者」とうたっていた。」
画像：アペリーの定数
画像：1772年、レオンハルト・オイラーによって、与えられたζ(3)の表示。

ζ(3) が超越数かどうか未だ分かってないらしい。。。
ζ関数の奇数値は、、、簡単じゃなさそうってのも分かりますね。。。^^;

1292：放物線

問題1292
http://blogs.yahoo.co.jp/seiyakuman/29515443.html　より Orz〜

放物線 y=x^2 と直線 y=x+2 の２つの交点を、x 座標の小さい方から順に A, B とする。
点 P は、放物線上を原点 O から点 B まで動くとする。

(1) △PAB = △OAB となる点 P の座標を求めよ。

(2) △ PAB = △ OAB/2 となる点 P の座標を求めよ。































解答

・わたしの

(1) y=x^2, y=x+2
x^2=x+2
x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0
x=-1, x=2
A(-1,1), B(2,4)
△OAB=台形-直角三角形２個＝(1+4)*(1+2)/2-1^2/2-2*4/2=3
P(x,x^2)
15/2-(1+x^2)*(1+x)/2-(4+x^2)*(2-x)/2=3
9=1+x+x^2+x^3+8-4x+2x^2-x^3=9-3x+3x^2
3x^2-3x=0
x(x-1)=0
x=1
P(1,1)

(2) 3/2=15/2-(1+x^2)*(1+x)/2-(4+x^2)*(2-x)/2
12=9-3x+3x^2
x^2-x-1=(x-1/2)^2-1-1/4=0
(x-1/2)^2=5/4
x=1/2+√5/2
P((1+√5)/2, (3+√5)/2)

でいいのかな ^^

1291：約数

問題1291

Ａを２以上の整数とし、＜Ａ＞で整数Ａの約数の個数を表します。 例えば、３５の約数は、１，５，７，３５なので、＜３５＞＝４です。次の問いに答えてください。

(1)＜３０＞を求めなさい。
(2)２から２０までの整数Ｐで、＜Ｐ＞＝２となる整数はいくつありますか。
(3)２から１００までの整数Ｑで、＜Ｑ＞＝３となる整数はいくつありますか。
(4)２から１００までの整数Ｎで、＜＜Ｎ＞＋２＞＝２となる整数はいくつありますか。


































解答

・わたしの

(1)＜30＞は、{1,2,3,5,6,10.15.30}より８
(2)＜Ｐ＞＝２とは、１とその数自身しか約数じゃないから、素数ということ。
＜Ｐ＞は、{2,3,5,7,11,13,17,19}より、８個
(3)＜Ｑ＞＝３ということは、１とその数とその√Q だけ。
＜Ｑ＞は、{22,32,52.72}より、４個
(4)＜＜Ｎ＞＋２＞＝２とは、＜Ｎ＞＋２ が、素数ということ。
しかも、N は２以上だから、＜Ｎ＞＋２ は、５以上。
＜Ｎ＞＋２=5,7,11,13,・・・
＜Ｎ＞ は、3,5,9,・・・
ここで、約数が奇数ということは、、、
＜Ｎ＞=3 で、1,p,p2・・・(3)から、４個。
＜Ｎ＞=5 で、1,p,p2,p3,p4・・・24,34 の２個。
＜Ｎ＞=9 で、N=28＞100 なので、
N=p2*q2・・・(p,q)=(2,3),(2,5) なら可能。 ・・・22*32=36,22*52=100 の２個。
合計＝4+2+2=8個。

1290'：長方形分割の解答

問題1290の解答です。^^v
http://homepage1.nifty.com/Hagure/math/a021.html　より Orz〜

今回問題とした９つの大きさの異なる正方形を組み合わせてつくった長方形は，最も小さな正方形を１×１とすると32×33の大きさの長方形で，これは現在知られている最も小さな「正方形に近い長方形」なのだそうです。

巧みな解答ですね♪

1290：長方形分割

問題1290











































解答

次にアップしますね v