アットランダム≒ブリコラージュ

1572：数列（連続5個の和が正連続7個の和が負）

問題1572

10個の数を一列に書きますが、この一列に並んだ数の中で連続した5つの数の和が正に、また連続した7つの数の和が負になるように書くことはできるでしょうか。















































解答

・わたしの

連続した5つの列は、6個とれる。
a1,a2,a3,a4,a5
a2,a3,a4,a5,a6
a3,a4,a5,a6,a7
a4,a5,a6,a7,a8
a5,a6,a7,a8,a9
a6,a7,a8,a9,a10

連続した7つの列は、4個とれる。
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7
a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8
a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9
a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10

つまり、a6+a7 < 0, a7+a8 < 0, a8+a9 < 0, a9+a10 < 0
また、逆から考えれば、a1+a2 < 0, a2+a3 < 0, a3+a4 < 0, a4+a5 < 0
a1+a2+a3+a4+a5 > 0 なので、
a1+2a2+2a3+2a4+a5 < 0 から、
a2+a3+a4 < 0
同様に、、、
a3+a4+a5 < 0
a4+a5+a6 < 0
a5+a6+a7 < 0
a6+a7+a8 < 0
a7+a8+a9 < 0
が導けるが、、、
これらをすべて足しても負であるはずだが、、、
縦にみると、、、
a3+a4+a5+a6+a7 > 0
a4+a5+a6+a7+a8 > 0
a5+a6+a7+a8+a9 > 0
のはずだから、、、
今度はこれらすべてを足すと正になってしまい矛盾。

よって題意を満たすような数列は存在しない。 ^^
これでいいかな...?

おおウソだったよう・・・^^;

・友人からのもの

たとえばa,b,a,b,a,a,b,a,b,aとすると
連続する5つの和は3a+2b、7つの和は4a+3b
したがって3a+2b>0、4a+3b<0ならよい
たとえば5,-7,5,-7,5,5,-7,5,-7,5
は条件を満たしている。

正、負、正、負、正、正、負、正、負、正　であることはわかってたんですけどね、、、

1571：異なる亀甲形

問題1571

一辺の長さが1cmの正六角形を、辺と辺をぴったりあわせて図形を作ります。
全体を回したりひっくり返したりして重なるものは同一の図形とみなします。
例えば、正六角形が3個の場合は、右の図のように3種類の図形を作ることができます。
では、正六角形が4個の場合は、何種類の図形を作ることができるでしょうか？









































































解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

1570'：分銅の解答

問題1570の解答です ^^v
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Labo/6317/nisegane_03.htm　より Orz〜

★まず、調べる個数P＝２^ｎ個の場合について考えて見ましょう。
（1）ｎが１の時は下の図の２通りで、１回で答えがでますね。
（2）ｎが２の時は二つの場合に分けて考えましょう。
　　上の様に２個づつ乗せてつりあった場合は、右の皿と左の皿の状況は同じですね。
　　ということは片方の皿（この場合は例として左の皿）を考えれば良いわけです。
　　で、結局ｎ＝１の場合と同じになりますね。ですから、最初の１回と後１回で計２回。

下の様につりあわなかった場合は、両方のお皿から１個ずつ選びます。
その２個を比べて
　　　　１）つりあった場合　ｂが11ｇ、ｄが10ｇということです。
　　　　２）つりあわなかった場合は　ａが11ｇ、ｃが10ｇということです。
結局２回でわかります。

（３）もう一つだけやってみましょうか。
下の図右でつりあったときはｃｄｇｈで考え、つりあわない時はabefで考えれば言い訳で、１回計ることでｎを一つ減らした状況になることがわかりますね。
結局、２^ｎの時はｎ回でいいことがわかります。
（厳密には、数学的帰納法を使ったりして証明してくださいね。）

★次に２^ｎ＜P＜２^(ｎ+1)でPが偶数の場合を考えましょう。
つりあった場合（上の図）は片側を調べればいいんですが、簡単のため、もう一方からも借りて２^ｎにすると、あとｎ回で可能なのは上で示しました。
つりあわない場合（下の図）は左右の皿から２^ｎ/2個ずつ選びます。これがつりあわない場合はそのまま続ければいいわけですね。
つりあった場合はピンクの線で囲ったように残りすべてに、あと２^ｎになるように加えると、あとｎ回ですね。

★最後に２^ｎ＜P＜２^(ｎ+1)でPが奇数の場合を考えましょう。

　つりあった場合は図の緑の線で囲んだように２^ｎの場合を考えればいいですね。
　つりあわなかった場合はPが偶数の時のつりあわない時と同じです。

★結論として２^ｎ＜P≦２^(ｎ+1)の時はｎ+1回でわかることになります。
　で問題の52個、53個は２^5＜P≦２^6ですから、６回と言う事になります。


う〜む、、、熟読玩味...^^;