アットランダム≒ブリコラージュ

1578：三角形を二分する最短線

問題1578・・・http://blogs.yahoo.co.jp/mindrefugee307/37534272.html　より Orz〜

一辺が１００メートルの正三角形の土地がある。この土地を面積で二等分するときに、分割する線の最小の長さを求めなさい。













































解答

・上記サイトより Orz〜

一辺の長さをａとすると、分割する線が直線ならば以下のような長さが考えられます。
頂点からの垂線では、√３ａ／２　底辺に水平な直線では　√２ａ／２　になります。

曲線でこの長さよりも短いものはないのか？あります。それは次の様にすると分かります。
正三角形を６つ集めて、正六角形を作ります。この正六角形の面積を二等分するような中心に対称でそれぞれの正三角形に対称な曲線を考えます。そこで求められた長さは、６つに分割された正三角形でも一般性を失いません。
正六角形の半分の面積を、その周の長さを最小にする図形は円です。
この円の円周と６分の１の弧の長さｌを求めます。正六角形の面積をＳ、円の半径をｒとすると
S=6*√3/4*a^2
1/2*S=πr^2
r=1/2*√(3√3/π)*a
l=1/6*2π*1/2*√(3√3/π)*a=√(π/√3)*a/2

この長さは、調べてみるとちゃんと前のものより短いです。あとはａに１００を代入すると、約６７.３メートルとなります。

これは以前見たことありました...^^v

1577：三角形

問題1577

1つの3角形の2辺を直径とする2つの円は3角形全体を覆うことを示せ。











































解答

・わたしの

二辺の共有する頂点から残りの辺に垂線が引ける。その点は、二辺の円の交点に他ならないので題意は満たされた。^^
でいいのかな・・・？何だか簡単過ぎるような気が...^^;