アットランダム≒ブリコラージュ

2627：カード

問題2627・・・算チャレ掲示板にてMr ダンディさん提示問 Orz〜

1〜5の数字のカードが3枚ずつある。
これらでできる5桁の数字で1248番目の数は何か？
同じく2枚ずつなら何か？













































































解答

・わたしの

15555,14444,13333,12222,11111 と、
11112,11113,11114,11115 の2,3,4,5 が4ヶ所に動いたものはないので、
11111〜15555までは、5^4-5-16=604
21111~25555までも、604
計＝1208 なので、
あと、40番目・・・は、31241

2枚の時、、、
111**・・・4*3*4!/2!+4*4!/2!2!=144+24=128
604-128=476
1248=476*2+296
なので、・・・とにかく数えていくんだろうけど...
答えは・・・35134 らしい ^^;v

2626：直線の証明

問題2626・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16210887.html　より Orz〜

一次関数 y=ax+b がなぜ直線になるかを説明しなさい。

















































解答

・わたしの

2点の情報で、a,b が決定するから...?
つまり、2点で定まるので直線・・・って説明じゃだめ...^^;?


上記サイトより Orz〜

一次関数y = ax + b はx = 0 のときy = b であるから、y 軸上の点(0, b) を通る.
この点をA とおく.
また, 一次関数y = ax + b はx = p のときy = ap + b であるから, (p, ap + b) を通る.
この点をP とおく. ただしp は0 でない任意の実数とする.
1) a = 0 のとき
p の値にかかわらずP はx 軸に平行な直線y = b 上にある. p は0 でない任意の実
数値をとるから, 点P を表す集合と点A を表す集合との和集合はx 軸に平行な直線
y = b 全体の集合となる.
2) a ≠ 0 のとき
P からx 軸に下ろした垂線をPQ とし,
A を通ってx 軸に平行な直線とPQ との交点をR とすると,
PR = ｜ap｜ AR = ｜p｜
と表せる. このとき,
RP/AR=｜a｜
となり, p の値にかかわらず一定である. したがって∠ARP = 90° の直角三角形ARP
はp の値が変化してP が移動してもAR : RP の比は常に一定であり, かつ∠ARP は
常に90° であるから, 全て相似な三角形となる. (∵二辺比夾角相等)
以上より, P は点A を通ってx 軸と大きさが一定の角をなす定直線の上にある. さら
に, p は0 でない任意の実数値をとるから, 点P を表す集合と点A を表す集合との和
集合は直線l全体の集合となる.
1); 2) より一次関数y = ax + b は直線を表すことが示された.


思いの外難しいんだ・・・^^;;

2625：数列

問題2625・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16432039.html　より Orz〜

数列｛a_n｝の初項 a_1 から第n項までの和を S_n とする.
a_1 =1, √(S_{n-1}) +√(S_{n}) =a_n (n≧2)
のとき, a_n を n を用いて表しなさい.















































解答

上記サイトより Orz〜

a[n]=S[n]-S[n-1]であるから、
これを問題文中の漸化式の右辺にし、任意のn≧2において、
(√S[n-1])+(√S[n])＝S[n]-S[n-1]
(√S[n-1])+(√S[n])＝{(√S[n])+(√S[n-1])}{(√S[n])-(√S[n-1])}
問題文中の漸化式より明らかにn≧2でa[n]≧0であり、またa[1]＝1なので任意のn≧1でS[n]＞0である。よって(√S[n])+(√S[n-1])＞0なので上式の両辺を(√S[n])+(√S[n-1])で割ることができ、
任意のn≧2において、
(√S[n])-(√S[n-1])＝1
(√S[n])-n＝(√S[n-1])-(n-1)
(√S[n])-n＝(√S[n-1])-(n-1)＝･･･＝S[1]-1＝0
よって、任意のn≧1において、
S[n]＝n^2
a[n]＝S[n]-S[n-1]＝n^2-(n-1)^2=2n-1

数列はなぜだか...苦手だなあ...^^;

2624：円の直交する二本の接線

問題2624・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16554422.html　より Orz〜

原点を通り互いに直交する2直線があり,
ともに円：x^2+y^2-4x-6y+a=0
の接線になるとする.
このとき定数aの値を求めよ.














































解答

上記サイトより Orz〜

x^2+y^2-4x-6y+a=0
(x-2)^2+(y-3)^2-13+a=0
(x-2)^2+(y-3)^2=13-a 中心(2,3)、半径√(13-a)

一方の接線f(x)と円の接点をP、円の中心をQとすると、
△OPQは∠POQ=45°∠OPQ＝90°の直角二等辺三角形となる。
∴OQ:PQ=√2:1
　OQ^2:PQ^2=2:1
　(4+9):(13-a)=2:1
　26-2a=13
　a=13/2

円の中心と原点との距離が√(2(13-a)) なので、
2^2+3^2=13=2(13-a) から、
a=13/2
でもいいですね ^^

2623：計算

問題2623・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16509846.html　より Orz〜

自然数 1, 2, 3, ……, n の中から
異なる2個をとってつくった積の総和を求めなさい.









































































解答

上記サイトより Orz〜

(1+2+3+‥+n)^2
=1^2+2^2+3^2+‥+n^2+2*(異なる2数の積の和)より
(1/2)*{(Σ[k=1〜n]k)^2-Σ[k=1〜n]k^2}
=(1/2)((n(n+1)/2)^2-n(n+1)(2n+1)/6))
=(1/24)*(n-1)n(n+1)(3n+2)

そうですね♪