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問題2636・・・ひよこさんのサイト http://myhome.cururu.jp/gersdorffite/blog/article/71002725628 より Orz〜
上の方程式を満たす正整数nを全て求めよ。
* τ(n) ：正整数nに対してnの正の約数の個数を表しています。
解答
・わたしの
ごく一部ですし、、、途中までです...^^; Orz...
n=p^x*q^y のとき、
τ(n)=(x+1)(y+1)
φ(n)=p^(x-1)*(p-1)*q^(y-1)*(q-1)
τ(n)φ(n)=(x+1)(y+1)p^(x-1)*q^(y-1)*(p-1)(q-1)=6p^x*q^y
(x+1)(y+1)(p-1)(q-1)=6pq
p,q 両方奇素数の時は、右辺が4で割れないのでありえない。
p=2 のとき、
(x+1)(y+1)(q-1)=12q
q は奇素数なので、q-1=2,4,6,12 から、q=3,5,7,13
q=3
(x+1)(y+1)=18=2*9=3*6
q=5
(x+1)(y+1)=15=3*5
q=7
(x+1)(y+1)=14=2*7
q=13
(x+1)(y+1)=13・・・なし
奇素数が3個以上のときも考えなきゃいけない・・・^^;
ちなみに、、、1個の時は、、、
(x+1)p^(x-1)*(p-1)=6p^x
(x+1)(p-1)=6p
x+1=p
p-1=6
7=x+1
x=6
7^6 のとき、
7*7^5*6=6*7^6 で成立。
続きを考えてみました ^^
素因数が1個の時・・・
n=p^x
(x+1)p^(x-1)(p-1)=6p^x
(x+1)(p-1)=6p
p=2 のとき、
x+1=12
x=11→n=2^11
p-1=6 のとき、
x+1=7→n=7^6
素因数が3個の時・・・
n=p^x*q^y*r^z
(x+1)(y+1)(z+1)(p-1)(q-1)(r-1)=6pqr
p<q<r
q-1=p のとき、p=2 しかないので、q=3
(x+1)(y+1)(z+1)(r-1)=18r
18=3*6 しかないが、q=r となるのでなし。
これ以上もないことは同様に言える。
けっきょく、2個の因数の場合は、
p=2 のとき、
(x+1)(y+1)(q-1)=12q
q は奇素数なので、q-1=2,4,6,12 から、q=3,5,7,13
q=3
(x+1)(y+1)=18=2*9=3*6 ・・・n=2*3^8, 2^8*3, 2^2*3^5, 2^5*3^2
q=5
(x+1)(y+1)=15=3*5 ・・・n=2^2*5^4, 2^4*5^2
q=7
(x+1)(y+1)=14=2*7 ・・・n=2*7^6, 2^6*7
ですべてかな・・・？
結果は同じだけど、、、
↑
>(x+1)(y+1)(z+1)(r-1)=18r
18=3*6 しかないが、q=r となるのでなし。
ここは、おかしいね...^^;
r-1=6 がありますね。3<r で、2<=x+1 だから。
(x+1)(y+1)(z+1)=7 を満たすものはない。
素因数の数が2個の時と同様にすべて奇素数はありえないので、p=2
q-1 が p=2 でない場合、
r-1 も q でない。そうでないと、r は偶数になるから。
(x+1)(y+1)(z+1)(q-1)(r-1)=12qr
つまり、たとえば、x+1=q,y+1=r になる。
(z+1)(q-1)(r-1)=12
つまり、z+1=3
(q-1)(r-1)=4 を満たすものはない。3<q なる素数だから。
素因数の数が4以上の場合は、
(x+1)(y+1)(z+1)(w+1)(p-1)(q-1)(r-1)(w-1)=6pqrw
p=2 でも、左辺は2^3を持つが、右辺は 2^2 しか持たないのでありえない。
これでいいかな・・・^^
・否定する者さんのもの Orz〜
N*からQへの関数f=τφ/id を定める。
このとき、fは乗法性を持っているといえる。
素数冪p^kに対して、 f(p^k)=(k+1)(p-1)/p である。
pとkに対して、f(p^k)は単調に増加するといえる。
また、以下のことがわかる。
「p≠2ならば、v_2(f(p^k))=v_2(k+1)+v_2(p-1)≧1
p=2ならば、v_2(f(p^k))=v_2(k+1)-1 である。」 ・・・○
問題の方程式を満たす整数n＞1を任意に取る。
このとき、当然、f(n)=6 の成立がいえる。
v_2(f(n))=1 であることには注意を要する。
最初に、nのパリティで場合を分ける。
2009/05/18 18:02
否定する者 (1)nが奇数であるとき
○より、nは素数冪(=p^k)であるといえる。
よって、 f(p^k)=6より、(k+1)(p-1)=6p がいえる。
(p,p-1)=1に注意して、p-1|6 がいえるから、p=3, 7 となる。
これから、(p, k)=(3, 8), (7, 6) であるとわかる。
(2)nが偶数であるとき
v=v_2(n) とおく。
○より、v_2(v+1)≦2 であるといえる。
o=v_2(v+1)の大きさなどで場合を分ける。
・o=2 であるとき
○より、nは奇素因数を持たないといえるので、
f(2^v)=6 より、 (v+1)=12 ⇔ v=11 がいえる。
・o=1 または o=0 かつ nの奇素因数の個数が1のとき
○より、n=2^v*p^k の形であるといえる。(pは奇素数)
f(n)=6 より、 {(v+1)/2}*{(k+1)(p-1)/p}=6 といえる。
これより、(p-1)/2|6 がいえるから、p=3,5,7,13 がいえる。
p=3 のとき、 {v,k} = {1,8}, {2,5}
p=5 のとき、 {v,k} = {2,4}
p=7 のとき、 {v,k} = {1,6}
p=13 のとき、 矛盾が生じる。
(p=3,7のときはo=1のときに対応していて、p=5,13のときは、
o=0 かつ nの奇素因数の個数が1であるときに対応している）
2009/05/18 18:03
否定する者 ・o=0 かつ nの奇素因数の個数が2であるとき
○より、n=2^v*p^s*q^t (p, q≡-1(mod 4)かつp＞q) とかける。
このときは、vは偶数であり、さらに、
nの奇素因数の指数も全て偶数であるといえるので、
f(n)=f(2^v)*f(p^s)*f(q^t)≧f(2^2)*f(3^2)*f(7^2)＞6
これは矛盾である。
以上をまとめる。
問題の方程式を満たす正整数nは以下に限ることがわかる。
（逆に、以下のようになるとき、問題の方程式を満たすことはすぐわかる）
n= 3^8, 7^6, 2^11, 2*3^8, 2^8*3, 2^2*3^5,
2^5*3^2, 2^2*5^4, 2^4*5^2, 2*7^6, 2^6*7
そっか,,,奇素数が2個以上の時は...即矛盾が言えるんだ♪
わたしのは...3^8 が抜けてたけど...
>素因数が1個の時・・・
n=p^x
(x+1)p^(x-1)(p-1)=6p^x
(x+1)(p-1)=6p
p=2 のとき、
x+1=12
x=11→n=2^11
p-1=6 のとき、
x+1=7→n=7^6
このとき、
p-1=2 のときが抜けてるんですね...^^;
p=3
(x+1)=9
n=3^8
ってことでした...^^;
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