アットランダム≒ブリコラージュ

2702：破産

問題2702・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/18215574.html　より Orz〜

ある人が機械を相手に勝ちと負けの確率がどちらも1/2のゲームを行う.
その人のはじめの持ち点を10点とし,
勝てば1点を得, 負ければ2点を失う.
この人の持ち点が0または1になるとゲームは終了する.
このとき, ちょうど9回でゲームが終了する確率を求めなさい.



























解答

上記サイトより Orz〜

このゲームの条件で持ち点10点から、ちょうど9回でゲームが終了するのは、
8回目までに3回勝ち、5回負けていて、９回目に負けて持ち点が1になる場合です。
（例えば、○○○××××××）
これだけなら分母は2^9=512、分子は(8*7*6)/(3*2*1)=56となります。
（9回目は必ず負けなので、8回中3回勝つ組み合わせを求める)
ただし、この中に7,8回目に勝つ組み合わせが6通りあり、
その場合は6回目までに1点になってしまいます。
従ってそれを除いて(56-6)/512=25/256となります。

ちなみにわたしは・・・間違ってましたが...^^;

9回目に0か1になるということは、
8回目に2か3になっているということ。
8回目までの勝った回数x、負けた回数y
x-2y+10=2 or 3
つまり、
2y-x=8
x+y=8
を満たすものはない。
2y-x=7
x+y=8
y=5,x=3
10/2=5
連続5回が駄目なのは最初の2回だけ（あとは12-10=2>1)で...
8C5-2=54
54/512=27/256

って考えたんだけど...?
連続4個の負けの場合も 10-8=2, 2+1=3, 次は3-2=1で負けられないから駄目
この逆の、10-2=8, 8+1=9, 9-8=1 で駄目。
連続3個の負けの場合も 10-6=4, 4+1=5, 5-4=1 で負けられないから駄目
この逆の、10-4=6, 6+1=7, 7-6=1 で駄目
だから、、、
8C5-6=56-6=50 になるんですね・・・^^;v

2701'：ファニャーノの問題 解答

問題2701の解答です ^^v
http://fmnr.blog91.fc2.com/blog-entry-32.html　より Orz〜

途中まで略...^^; Orz〜

「もし点Ｐがこの位置でよいのならこの問題はこれで終わりです。
△ＰＱＲの周を最小にするような点Ｐを決めなければいけません。
線対称の性質から
ＲＰ＝ＲＰ''
ＱＰ＝ＱＰ'
よって、　△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ' だとわかります。
これは点Ｐがどこにいても同じです。
△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ'
であることから
△ＰＱＲの周の最短を考えること⇒Ｐ''Ｐ'の最短を考えること
ということです。
最早この問題において直線Ｐ''Ｐ'が最短となる条件を見つければよいということです。
・・・
線対称の性質より、△Ｐ''ＡＰ'は二等辺三角形ということがわかります。
点Ｐがどこにあっても直角三角形ＡＰ''Ｈにおいて
∠Ｐ''ＡＨ＝∠Ａ
何をやりたかったかというと、Ｐ''Ｐ'の長さがどうなっているか？という話でした。
そして∠Ｐ''ＡＨが一定であることからＰ''Ｈ（Ｐ''Ｐ'の半分）はaの長さだけで決まるということです。
もっと正確にいえばＰ''Ｈはaの長さに比例するということです。
三角比をつかえば
Ｐ''Ｈ＝a×sin∠Ａ　であるというとです。
（sin∠Ａは定数なのでＰ''Ｈはaに比例する）
つまり、ＡＰが最短になる点Ｐを求めればよいことがわかります。
これはもう簡単ですよね。
ＡからＢＣに下ろした垂線の足が点Ｐです。
図形の対称性から残りＲ，Ｑも垂線の足ということは分かります。　」

感動的な問題ですね♪
毎回感動してるわたし...^^;

2701：ファニャーノの問題

問題2701・・・http://fmnr.blog91.fc2.com/blog-entry-32.html　より Orz〜

図のような△ＡＢＣの辺上に点Ｐ，Ｑ，Ｒをおく。
このとき△ＰＱＲの周の長さが最も短くなるのはどのような条件か？
（ただし、△ＡＢＣは鋭角三角形）



















































解答

似た問題があった記憶あり...^^; Orz...

・わたしの

各辺の対称点の点を P',P''Q',Q'',R',R'' とすると、、、
たとえば、、、P'P'' 上に QR があれば、、、1直線になるから最短♪
それぞれの点で成り立てばいいはずだから、、、A,B,C それぞれからの垂線の交点を P,Q,R とすれば、、、成り立つことがわかる♪

なるほどの解答はつぎにアップしますね ^^

2700：正三角形^2

問題2700・・・http://homepage2.nifty.com/tangoh/seisan060408c.html　より Orz〜

複素数平面での３点 A, B, C が反時計周りに正三角形をなすための必要十分条件は
A, B, C に対応する複素数を各々 a, b, c とおくと
a + bω + cω2 = 0
ことを証明せよ。
ただし、ω は、x^3=1 の1以外の解の一つとする。















































解答

上記サイトより Orz〜

A, B, C が反時計周りに正三角形をなすための必要十分条件は
A が B を中心に C を 60°回転した点であることである。
つまり

a - b = -ω^2(c - b)
ω = -1 - ω^2
に注意すると、これは
a + bω + cω^2 = 0
である。

*
a-b=-ω(c-b)
a-(ω+1)b+ωc=a+bω^2+cω=0 でもいいですよね？

2699：正三角形の1辺の長さ

問題2699・・・http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/249.html　より Orz〜

これはよく見ますね ^^












































解答

・わたしの

a*√3/2*a/2=(5+7+8)*a/2
√3a/2=20
a=40/√3=40√3/3 ^^