アットランダム≒ブリコラージュ

2849"：円に内接する三角形(13:1) 解答^2

問題2849の解答 ^2です ^^v
直径7の円の直径AB上にAQ：QB = 13：1 となる点Qが、円周上に P,R があり、∠Q=90度のとき、以下の問題に答えなさい。

(1)　 P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。
(2)　(1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。

・uchinyanさんのもの Orz〜

(1) は，次のようにすれば初等幾何の範囲でもできます。

今，円の中心を O とし，T を 弧AB 上の点，T' を 弧TA 上の T とは異なる点とします。
すると，
T' が A に一致せず，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q に関して T と反対側にあるので，
∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。
T' が A に一致し，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q = AQ 上にあるので，
∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T = ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。
T' が A に一致せず，T が B に一致する場合は，O は，T'Q に関して T と反対側にあり，TQ = BQ の延長上にあるので，
∠QTT' = ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。
T' が A に一致し，T が B に一致する場合は，明らかに，T'Q > TQ になります。
結局，常に，T'Q > TQ なので，T が 弧AB 上を B から A に移動するとき，TQ は単調に増加すると分かります。
これより，△PQR = PQ * RQ * 1/2 なので，P，R が 弧AB 上にあるときの PQ，RQ に関して，
Q から AB に垂線を立て 弧AB との交点を C とすると，
BQ <= RQ <= CQ <= PQ <= AQ
がいえます。そこで，
CQ * BQ * 1/2 <= △PQR = PQ * RQ * 1/2 <= AQ * CQ * 1/2
AQ = 7 * 13/(13 + 1) = 13/2，BQ = 7 * 1/(13 + 1) = 1/2，
OC = OA = OB = 7/2，OQ = OB - BQ = 7/2 - 1/2 = 3，CQ = sqrt(OC^2 - OQ^2) = sqrt((7/2)^2 - 3^2) = sqrt(13)/2
なので，
1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13)
になります。

(2) は，次のようにすれば，微分を使わなくてもできます。

a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0
b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0
a > 0，b > 0 なので，
cos(x) = - 1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a)
sin(x) = + 1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b)
(cos(x))^2 + (sin(x))^2 = 1 より，
(1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a))^2 + (1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b))^2 = 1
a^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/a^2 + b^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/b^2 = 4c^2
a^2 + b^2 - 4(r^2 - c^2) + + (r^2 - c^2)^2 * (1/a^2 + 1/b^2) = 4c^2
(a + b)^2 - 2ab - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * ((a + b)^2 - 2ab)/(ab)^2 = 4c^2
ここで，a + b = s，ab = t とおくと，a，b が正の実数であることより，
(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = s^2 - 4t >= 0
s > 0, t > 0
です。逆に，こうなる s，t が存在すれば a，b は存在します。また，
△PQR = ab/2 = t/2
です。そして，先ほどの a，b の式は，
s^2 - 2t - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * (s^2 - 2t)/t^2 = 4c^2
(1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 = 2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t
ここで，この式より，t > 0 ならば s > 0 の解を取ることができ，s > 0 は満たされます。
そして，t > 0 の元で，
s^2 - 4t >= 0
(1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 - (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * 4t >= 0
2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t - 4t - 4(r^2 - c^2)^2/t >= 0
2t - 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t <= 0
t^2 - 2r^2 * t + (r^2 - c^2)^2 <= 0
r^2 - sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2) <= t <= r^2 + sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2)
r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) <= t <= r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2)
ここで，r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 で，0 < c < r より，
(r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2))
= r^4 - c^2 * (2r^2 - c^2)
= r^4 - 2 * c^2 * r^2 + c^4
= (r^2 - c^2)^2 > 0
なので，r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 もいえます。そこで，t > 0 は成立しています。
そして，
(r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2))/2 <= △PQR = t/2 <= (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2))/2
がいえます。そこで，r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 なので，
(49 - 6 * sqrt(62))/8 <= S <= (49 + 6 * sqrt(62))/8
になります。
なお，最大，最小の等号は a = b，つまり RQ = PQ，のときなので，△PQR が二等辺三角形になるときで， ∠RQB = 3π/4，7π/4 となって，最初の状況と確かに一致しています。

熟読玩味...♪

2849'：円に内接する三角形(13:1) 解答

問題2849の解答です ^^v

直径7の円の直径AB上にAQ：QB = 13：1 となる点Qが、円周上に P,R があり、∠Q=90度のとき、以下の問題に答えなさい。

(1)　 P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。
(2)　(1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。

・uchinyanさんのもの

まずは，真っ正直に，(1)と(2)が同時に解けるオールマイティの微分でやってみます。
円の中心を O(0,0)，AB を x 軸とし，OA = OB = r，OQ = c，0 < c < r，RQ = a > 0，PQ = b > 0，∠RQB = x，0 <= x < 2π，とします。
すると，
R(a * cos(x) + c, a * sin(x))
P(b * cos(x + π/2) + c, b * sin(x + π/2)) = (- b * sin(x) + c, b * cos(x))
です。そこで，
(a * cos(x) + c)^2 + (a * sin(x))^2 = OR^2 = r^2
(- b * sin(x) + c)^2 + (b * cos(x))^2 = OP^2 = r^2
つまり，
a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0
b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0
a > 0，b > 0 なので，
a = - c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
b = c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))
そして，△PQR = S = S(x) とすると，
S(x) = ab/2 です。後は，S(x) を微分して調べればいいです。
dS/dx = 1/2 * (da/dx * b + a * db/dx)
ここで，
da/dx
= c * sin(x) - c^2 * cos(x) * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
= c * sin(x) * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)))/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
= a * c * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
db/dx
= c * cos(x) + c^2 * sin(x) * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))
= c * cos(x) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))
= b * c * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))
より，
dS/dx
= 1/2 * ab * c * (sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)))
= Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
* (sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)))
= Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) * f(x)
最後は，
f(x) = sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
とおきました。
Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0 なので，
f(x) の正，負，0 を調べればいいです。一見これは，なかなか難しそうです。しかしよく見ると．．．
0 <= x < π/2 では
sin(x) >= 0，cos(x) > 0，f(x) > 0
π/2 <= x < 3π/4 では，
sin(x) > 0，cos(x) <= 0，|sin(x)| > |cos(x)|
sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
|sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0
f(x) > 0
3π/4 <= x < π では，
sin(x) > 0，cos(x) < 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 3π/4
sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
|sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= 0
f(x) <= 0，等号は x = 3π/4
π <= x < 3π/2 では，
sin(x) <= 0，cos(x) < 0，f(x) < 0
3π/2 <= x < 7π/4 では，
sin(x) < 0，cos(x) >= 0，|sin(x)| > |cos(x)|
sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
|sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
- sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) < 0
f(x) < 0
7π/4 <= x < 2π では，
sin(x) < 0，cos(x) > 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 7π/4
sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
|sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
- sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))
sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) >= 0
f(x) >= 0，等号は x = 7π/4
そこで，0 <= x < 2π で，
0 <= x < 3π/4 では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加
x = 3π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極大かつ最大
3π/4 < x < 7π/4 では，f(x) < 0，dS/dx < 0，S は単調減少
x = 7π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極小かつ最小
7π/4 < x < 2π では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加
になります。以上より，
S(x) = ab/2 = 1/2 * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))) に注意して，

(1) 0 <= x <= π/2 で考えればいいので，S(x) は単調増加で，
S(0) <= S(x) <= S(π/2)
1/2 * (r - c) * sqrt(r^2 - c^2) <= △PQR <= 1/2 * (r + c) * sqrt(r^2 - c^2)
r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 より，
1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13)
になります。

(2)
S(7π/4) <= S(x) <= S(3π/4)
1/2 * (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) <= △PQR <= 1/2 * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2))
r = 7/2，c = 3 より，
(49 - 6 * sqrt(62))/8 <= △PQR <= (49 + 6 * sqrt(62))/8
になります。
なお，お気づきかと思いますが，全く同様にして，f(x) の二つ前の式の sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))

美の追求

女性の可憐さ/恥じらい/秘められた誘惑する肉体・・・
それらを画家達は美しいと感じたからこそキャンバスに描いてきたんだよね♪


画像：フランソワ・ジェラール作　「プシュケとアモル」1798/パリ・ルーヴル美術館
http://t-jikkosan.jugem.jp/?eid=63　より Orz〜
「この作品は、新古典主義の大家ジャック・ルイ・ダヴィッドの弟子、フランソワ・ジェラールが、１７９８年のサロン・ド・パリに出品したものです。発表当時は不評でしたが、一部の若手の画家たちからは高評価を得て、後に新古典主義美術をひとつの方向へと導くことになった作品といわれています。
王女プシュケが、彼女には姿の見えない愛の神アモルに接吻され、戸惑いと驚き、そして恥じらいのようすを見せている情景が描かれています。主題は、ローマの古代神話に出てくる、プシュケ（魂）とアモル（愛）の恋物話ですが、人間の魂が神の愛を求める寓話として考えられ、いわゆるプラトニック・ラヴを示唆し、ネオプラトニズムを象徴するものとされています。・・・」

わたしも天使の翼が欲しい...女性がその欲望を臆すことなく露わにする秘力が備わってるのなら...♪

画像：アレクサンドル・カバネル作　「ヴィーナス誕生」1863/パリ・オルセー美術館
http://t-jikkosan.jugem.jp/?eid=64　より Orz〜
「1863年のサロン・ド・パリ展に、アレクサンドル・カバネルによって出品された作品です。アカデミックの最高峰の絵画として高く評価され、時の皇帝ナポレオン3世に買い上げられるとともに、1867年のパリ万国博覧会にも出品されたそうです。
主題は「ヴィーナスの誕生」。およそ400年前、イタリア・ルネサンス期に、ボッティチェッリの同名の絵があります。ボッティチェッリは、ギリシャ神話の話のとおりに、海で誕生したヴィーナスが貝殻に乗り、西風に吹かれて、キプロス島の浜辺に流れ着く様子を描いています。中央にたたずみ、恥じらうヴィーナスが、印象的です。ボッティチェッリのヴィーナスは、当時のフィレンツェで絶世の美女として評判だった、シモネッタをモデルにしているといわれていますが、身体のバランスや、ポーズは古典的な規範に従って描いています。・・・それに比して、カバネルの「ヴィーナスの誕生」は、海の上で今まさに誕生したばかりのヴィーナスが描かれています。5人のクピドたちが祝福のために、ヴィーナスの上を舞っています。あわ立つ海面から生まれたばかりのヴィーナスは、古典的な羞恥のポーズをとることなく、輝くばかりの女体を観るもの前に露わにしています。・・・」

天上の青は...地上の楽園を象徴してる色だ...真白い肌は...奔放な快楽の解放...
人間の「生」の「性」の賛歌だな♪
かってな解釈あるね・・・^^;
このビーナスが...ピカイチじゃないのかなあ・・・^^v