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問題3008・・・ヤドカリさんの問題から派生した問題 ^^
abc-ab-bc-ac-a-b-c=-1 のとき、
a<b<c を満たす整数を求めよ。
* uchinyanさんご指摘により右辺 = -1 に訂正。Orz...
（最初...右辺 = 1でした ^^;）2009.10.14.
解答
ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/2314351.html より Orz〜
abc−bc−ca−ab＝a＋b＋c−1, a≦b≦c≦20 を満たす整数a,b,cの組(a,b,c)は何通り？
[解答]
(a−1)(b−1)(c−1)＝2(a＋b＋c−1) と式変形できます。
? a,b,c に1が含まれる場合、３数を 1,m,n とすれば、
0＝2(m＋n) よって m＝-n
(a,b,c)＝(0,0,1)
(a,b,c)＝(-n,1,n) n＝1,2,3,……,20
? a,b,c に1が含まれない場合、
a-1, b-1, c-1 の全てが奇数の場合は成り立たないので、少なくとも１つは偶数。
偶数のものをp, 他の２つをq,r、ただし |q|≦|r|とします。
もちろん、p,q,r には0は含まれません。
pqr＝2(p＋q＋r＋2) だから p(qr−2)＝2(q＋r＋2)
qr＝2 と q＋r＝-2 は同値となりますが、これを満たす整数q,rは存在しません。
p(qr−2)＝2(q＋r＋2) より p/2＝(q＋r＋2)/(qr−2)＝(q/r＋1＋2/r)/(q−2/r)
4≦|q|≦|r|の場合は、|q/r＋1＋2/r|＜3, |q−2/r|＞3 だから p/2 は整数になりません。
したがって、|q|＝1,2,3 の場合を調べれば十分です。
p(qr−2)＝2(q＋r＋2) より pq/2＝(q?＋qr＋2q)/(qr−2)
よって、 pq/2＝1＋(q?＋2q＋2)/(qr−2)
q＝1 のとき、p/2＝1＋5/(r−2)
(r,p)＝(3,12) (a,b,c)＝(2,4,13)
(r,p)＝(7,4) (a,b,c)＝(2,5,8)
(r,p)＝(1,-8) (a,b,c)＝(-7,2,2)
q＝-1 のとき、-p/2＝1−1/(r＋2)
(r,p)＝(-3,-4) (a,b,c)＝(-3,-2,0)
q＝2 のとき、p＝1＋5/(r−1)
(r,p)＝(2,6) (a,b,c)＝(3,3,7)
(r,p)＝(6,2) 上と重複します。
q＝-2 のとき、-p＝1−1/(r＋1)
(r,p)＝(-2,-2) (a,b,c)＝(-1,-1,-1)
q＝3 のとき、3p/2＝1＋17/(3r−2)
これを満たす 3≦|r|,p≠0 は存在しません。
q＝-3 のとき、-3p/2＝1−5/(3r＋2)
これを満たす 3≦|r| は存在しません。
答をまとめると、
(a,b,c)＝(0,0,1),(2,4,13),(2,5,8),(-7,2,2),(-3,-2,0),(3,3,7),(-1,-1,-1),(-n,1,n) n＝1,2,3,……,20
の 27通り。
うぇ〜...熟読含味...^^;
ちなみにわたしは...
ab(c-1)-c(a+b)=(a+b)+(c-1)
(c-1)(ab-1)=(a+b)(c+1)
c=-1 のとき、ab=1 なので...b=-1 で、a=-1 になる。
(c-1)/(c+1)=(a+b)/(ab-1)
c-1=t(a+b)
c+1=t(ab-1)
t(ab-1-a-b)=2
t(a(b-1)-(b-1)-2)=2
(a-1)(b-1)=2/t+2
t=±1, ±2
・t=1 のとき、(a-1)(b-1)=4
・・・(a,b)=(3,3), (2,5), (-1,-1), (-3,0)
・t=-1 のとき、(a-1)(b-1)=0
a=1 のとき、(c-1)/(c+1)=(1+b)/(b-1) はありえない。
b=1 のとき、(c-1)/(c+1)=(1+a)/(a-1) もありえない。
・t=2 のとき、(a-1)(b-1)=3
・・・(a,b)=(2,4),(-2,0)
・t=-2 のとき、(a-1)(b-1)=1・・・(a,b)=(2,2), (0,0)
(a,b)=(3,3), (2,5), (-1,-1), (-3,0), (2,4),(-2,0), (2,2), (0,0)
の場合の c を求めてみる。
(c-1)/(c+1)=6/8・・・c=7
(c-1)/(c+1)=7/9・・・c=8
(c-1)/(c+1)=-3/-1=3/1・・・ありえない。
(c-1)/(c+1)=6/7・・・c=13
(c-1)/(c+1)=-2/-1=2/1・・・ありえない。
(c-1)/(c+1)=4/3・・・ありえない。
(c-1)/(c+1)=0/-1・・・c=1
けっきょく...
(a,b,c)=(3,3,7), (2,5,8), (-1,-1,-1), (2,4,13), (0,0,1)
の5通りかな・・・？
t=±1/2,1/4,・・・
=±2/3,2/5.・・・
の場合もあるか...?
で...挫折しました...^^;
別に...
{(a+1)(b+1)-2}/{(a-1)(b-1)-2}
={(ab-a-b-1+2(a+b)}/(ab-a-b-1)=c だから...
(a-1)(b-1)=2・・・(a,b)=(2,3),(-1,0)
・・・(a,b,c)=なし
(a+1)(b+1)=2・・・(a,b,c)=(-3,-2,0)
2(a+b)=m(ab-a-b-1) と考えてよい。
m=0 のとき、c=0=b=a で成り立たず。
m=±1,2,3,4 までは因数分解できるけど...
2(a+b)=ab-a-b-1・・・ab-3a-3b-1=(a-3)(b-3)-10=0
・・・(a,b)=(4,14),(5,8),(-7,2),(-2,1)
・・・(a,b,c)=なし
2(a+b)=-ab+a+b+1・・・ab+a+b-1=(a+1)(b+1)-2=0
・・・(a,b)=(0,1),(-3,-2)
・・・(a,b,c)=(-3,-2,0)
2(a+b)=2(ab-a-b-1)・・・ab-2a-2b-1=(a-2)(b-2)-5=0
・・・(a,b)=(3,7),(-3,1)
・・・(a,b,c)=(-3,1,3)
2(a+b)=-2(ab-a-b-1)・・・ab-1=0
・・・(a,b)=(1,1),(-1,-1)
・・・(a,b,c)=(-1,-1,-1)
2(a+b)=3(ab-a-b-1)・・・3ab-3a-3b-3=3(a-1)(b-1)-6=0
・・・(a,b)=(2,3),(-1,0)
・・・(a,b,c)=なし
2(a+b)=4(ab-a-b-1)・・・4ab-6a-6b-4=(2a-3)(2b-3)-13=0
・・・(a,b)=(2,8),(-5,1)
・・・(a,b,c)=なし
2(a+b)=-4(ab-a-b-1)・・・4ab-2a-2b-4=((2a-1)(2b-1)-5=0
・・・(a,b)=(1,3),(-2,0)
・・・(a,b,c)=なし
けっきょく...
(a,b,c)
=(-3,-2,0),(-1,-1,-1) ・・・しか求められなかった・・・^^; どこがおかしいのだろ・・・？
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