アットランダム≒ブリコラージュ

魔性の難問〜リーマン予想・天才たちの闘い〜/タブーへの挑戦...

こういうの大好きなもので...しっかりNHK観ちゃったもんね♪

画像：複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。
ja.wikipedia.org/wiki/ リーマンゼータ関数　より

画像：実数部1/2線上にポツポツと零点がみえる。1+0iの点は特異点だ。
FA屋さんの日記　http://blogs.yahoo.co.jp/runomee/47204520.html　より Orz〜
「ゼータ関数はビックバンの元になっている量子理論の繰り込み理論にも使われているらしい。
なかなか壮大な関数である。そう思うとこの零点の分布も神秘的に見えてくる。」

http://www.nhk.or.jp/special/onair/091115.html　より Orz〜
魔性の難問〜リーマン予想・天才たちの闘い〜
「数学史上最難関の難問と恐れられ、今年問題発表からちょうど150年を迎えたのが「リーマン予想」である。数学の世界の最も基本的な数「素数」。数学界最大の謎となっているのが、2，3，5，7，11，13，17，19，23・・・と「一見無秩序でバラバラな数列にしか見えない素数が、どのような規則で現れるか」だ。数学者たちは、素数の並びの背後に「何か特別な意味や調和が有るはずだ」と考えて来た。「リーマン予想」は、素数の規則の解明のための最大の鍵である。最近の研究では、素数の規則が明らかにされれば、宇宙を司る全ての物理法則が自ずと明らかになるかもしれないという。一方、この「リーマン予想」が解かれれば私たちの社会がとんでもない影響を受ける危険があることはあまり知られていない。クレジットカード番号や口座番号を暗号化する通信の安全性は、「素数の規則が明らかにならない事」を前提に構築されてきたからだ。
番組では、「創造主の暗号」と言われる素数の謎をCGや合成映像を駆使して分かりやすく紹介し、素数の謎に挑んでは破れてきた天才たちの奇想天外なドラマをたどる。」

オイラーの素数とπとの関連式の発見（1+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+・・・=π^2/6）
から...リーマン予想（1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体へゼータ関数を拡張した場合、ゼータ関数ζ(s)の非自明の零点sは、全て実部が1/2の直線上に存在する）だったっけ...へと至った話...詳しくは証明欄に別記事のアップ予定 ^^v
その後、あのイギリスの誇るハーディとリトルウッドとの共同研究でさえ撥ね付けられ挫折し、天才ジョンナッシュ(画像)が試みて精神を病んだ話、ルイ・ド・ブランジュ(画像)が3度も提出した論文は致命的な間違いを冒してたって話、彼は老いてなお挑み続けてる話（つい最近第4弾の証明したという論文を提出されたって!!）しばらく...数学者はリーマン予想を研究してることは公に言えない雰囲気が続いてた（タブー）ような時期があったって話、、、^^; 不思議な話ですね・・・どんな研究をしたっていいはずじゃないですか・・・？ ブランジュ氏には研究者として敬意を払われるべきであって...貶められる筋合いはまったくないはず...時流/潮流に乗らなきゃいけない空気って...数学のような抽象的でいちばん自由だと思ってた世界にもあるんですね...
それが...その後、ベル研究所のティータイムに数学者のモンゴメリーと物理学者のダイソンとのふとした会話から・・・ゼータ関数の自明でない零点の差の分布関数と量子力学の法則下にあるランダム・エルミート行列の固有値の相関関係
１−（ｓｉｎπΔＥ／πΔＥ）^2
と同じものであることに気づきました．
すなわち，ゼータ関数の自明でない零点の差の分布関数は
１−（ｓｉｎπｕ／πｕ）^2
という被積分関数をもっているということが見出され!!（すくなくともわたしにゃ分かりません...悪しからず...^^; Orz...)　数学者と物理学者の共同研究が燃え上がってる状況らしい♪
その中でも...いまアラン・コンヌってフランスの数学者が非可換幾何学ってものを使って証明を試みてるってね♪
非可換幾何学そのものがさっぱり分からないけど...より思考が広げられてるものなんでしょうね・・・
有理数から無理数へ、、、実数から複素数へ、、、ユークリッド幾何学から非ユークリッド幾何学へと思考の枠は打ち破られ...当たり前だと思ってた世界観からのパラダイムシフトのような感じかな・・・？ ^^;

(画像：アラン･コンヌ （Alain Connes）
1947年，南仏のカンヌ近郊の町ダーギニャンに生まれる．
1970年エコール・ノルマル・シュペリユ?ルを卒業し，フランス国立科学研究センター(CNRS)の研究員となる．1976年パリ第6大学講師を経て，1979年にフランスの高等科学研究所(IH?S)教授となり，現在に至る．1984年からはコレージュ・ド・フランスの教授を兼任．
葉層構造およびもっと一般には微分幾何学へのC*環論の応用における業績で，1982年ワルシャワの国際数学者会議でフィールズ賞を受賞．2004年フランス国立科学研究センターより金メダルを受賞．非可換幾何学とリーマンゼータ関数Noncommutative Geometry and the Riemann Zeta Function　http://www.springer.jp/discipline/mathematics/saisentan/vol3_03.php　より Orz〜)

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/246_riemann.htm　より Orz〜
「リーマン予想と量子物理学との関連
これらのことにより，ゼータ関数の零点分布がランダム行列理論で得られる関数で表されることは予想されていたのですが，近年，ルドニックとサルナックはこれを部分的に証明したという・・・．
このようにゼータ関数の零点を作用素のスペクトルと関連づけて解釈しようとする数論の新しい動きを総称して「数論的量子カオス」と呼ばれます．素数を周期軌道，零点を固有値と読み変えることによって，ゼータ関数が仮想的な量子系を表現していると考えることができるというのです．
リーマン予想の証明では，このようなゼータ関数の零点が固有値となるような演算子をつきとめるというヒルベルト・ポリヤ以来の行列の固有値方面からのアプローチがあげられるのですが，フランスの数学者コンヌは，それとは逆に，量子物理のアイディアからリーマン予想を証明しようとその可能性を追求しています．コンヌのアプローチはそのような演算子を実際に構成するというものです．
コンヌはリーマン演算子が作用する対象として非常に変わった空間を構築しました．アデールとはすべてのｐ進数体Ｑp｛Ｑ2，Ｑ3，Ｑ5，Ｑ7，・・・｝と実数体Ｒから成るのですが，それぞれに素数を内蔵していてすべての素数を備え，同時に２進数であり３進数でありかつ実数でもあるような仮想的な数体系となっています．
コンヌは有理数体Ｑのアデール環ＡをＱの乗法群Ｑ~で割って得られる非可換空間Ａ／Ｑ~を基にして
リーマン予想　←→　Ａ／Ｑ~に対して跡公式が成り立つ
を示しました．
可換と非可換座標を含む幾何学は，ボゾンとフェルミオンの量子論を古典近似しようとした物理学者たちによって発見され，コンヌの非可換幾何学も量子論に源泉をもっています．そしてそれがゼータ関数のスペクトル表現の問題にも応用できることが見いだされたのです．そして，コンヌのアプローチが有効ということになれば，リーマン予想が証明できることになり，同時に数学と量子物理学の間の驚くべき関係が証明できたということになるのです．
リーマン予想に対する取り組みはもちろん他にもあり，デニンガーはリーマンゼータ関数ζ（ｓ）の零点の固有値解釈をコホモロジー的枠組みから研究しています．現在リーマン予想の解決にもっとも肉薄しているのはコンヌ（フランス），デニンガー（ドイツ），ハラン（イスラエル）の３人だという説がささやかれているようです．
大部分の数学者はリーマン予想が正しいと信じていて，いまや「リーマン予想が真であるとすれば・・・」で始まる定理が何百とあります．その一方で真偽の予断を許さない数学上の根拠もあげられていて，リーマン予想は非常に危ういところにあるとのことです．
当たり前のことですが，リーマン予想は正しいかそうでないか，いずれかなのです．数学の調和という観点から個人的には正しいと信じていますが，どちらに転んだとしてもその影響は甚大です．」

つまり...大きな数が素数なの仮想でないかのチェックはスパコンでも難しい（時間がべらぼうにかかってしまう）という事実の上にセキュリティは担保されてる/守られてる...それが...素数の出現頻度が確定されてしまうといまのそのシステムは崩壊しちゃうことにつながるわけ...^^;
恐ろしいパンドラの箱が開けられることになっちゃうのかも知れないな...

kentians.exblog.jp/i7/　より Orz〜
「「パンドラの箱」は、ギリシャ神話の有名な話で、天上の神ゼウスが人間を懲らしめる目的で、人間界によこしたパンドラに、絶対に開くなと諭して贈り、持たせた箱を、好奇心から誘惑に負けて開いたら、あらゆる災厄がとびだし、慌てて蓋を閉じたが、中には、絶望とも、希望とも、或いは未来が分かってしまう災いとも言われるものだけが残ったという。そのことから一般的には、「開けてはいけないもの」「災いをもたらすから触れてはいけないもの」の喩えになっているし、人間はそれゆえに、いくら絶望するような事があっても、希望を捨てないでいられるのだとも言われている。」

画像：ジョン・ウィリアム・ウォーターハウス 「パンドラ Pandora」 1898年　個人蔵
follia.at.webry.info/ 200708/article_10.html　より Orz〜
「好奇心と禁忌。
このふたつは､私達人間の歴史において切っても切れない関係にあるようですね。
『知ることへの欲求』は､この禁忌との闘いであり､ドラマでもありました。」

たしかに...狂言の「附子」も、アダムとイブのリンゴの話もこれも...好奇心/知ることへの誘惑に人は突き動かされちゃう...そしてその結末は神のみぞ知る...親がいくら駄目だといっても神様がいくらタブーを諭したところで...子どもも人もそれを破ってきたんだ...ただ...知りたいという理由だけで...^^;v

ユークリッドの互除法/フィボナッチ

Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/mondai/mondai92.htm より Orz〜

「ユークリッドの互除法というのは、 ２つの整数比を持つ長方形から、できるだけ大きい正方形を 順次切り出していって、 最後に残った一番小さい正方形の１辺が、 （運が悪くても１辺１の正方形で必ず終わる） 最大公約数だということですよね。」

画像：kirklandさんのもの Orz〜

いつも面白いと感動しちゃう図です♪
いま...NHKスペシャルで「リーマン予想」やってるよ〜！！

3111：最大公約数

問題3111・・・Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/mondai/mondai92.htm　より Orz〜

１以上の２つの整数 ｍ、ｎ（ただし、ｎ は ｍ より大きい）について次のような操作を行う。
ｎ を ｍで割ったときの商を書いておいて、余りがあれば今度 ｍ をその余りで割って、余りがある限りくり返す。

例えば、ｍ＝７、ｎ＝１０のときはこうなる。
　１０÷７＝１、余りは３
　７÷３＝２、余りは１
　３÷１＝３、余りがない、操作終了

紙に書いたのは「１−２−３」である。そこで７と１０の関係は、「１−２−３」であるという。 関係に出てくる数の個数（７と１０の時は３）を関係の長さという。

例えば、
３と５の関係は「１−１−２」、その長さは３。
４と６の関係は「１−２」、その長さは２である。

(1)　関係が「１−３−１−１−２」となる整数の組を、１以上１００以下の範囲で すべて答えなさい。

(2)　１以上１００以下の範囲で「関係の長さ」が最も長くなるような整数の組を調べたところ、 長さが９である組が最も長く、しかも１組しかないことがわかりました。その１組を答えなさい。



( ピーター先生と中学入試の算数に挑戦！　ピーターフランクル　新潮社　（開成中学校））











































解答

・わたしの

１．
n/m=1・・・a
m/a=3・・・b
a/b=1・・・c
b/c=1・・・d
c/d=2

c=2d
b=3d
a=5d
m=18d
n=23d
d=1,2,3,4
つまり...
(m,n)=(18,23), (36,46), (54,69), (72, 92) の4組

２．
最後は 2以上
あとすべて商が1の時...
2,3,5,8,13,21,34,55,89
3,4,7,11,18,29,47,75,122 > 100
なので...
(m,n)=(55,89) しかない。

実際に...
89/55=1・・・34
55/34=1・・・21
34/21=1・・・13
21/13=1・・・8
13/8=1・・・5
8/5=1・・・3
5/3=1・・・2
3/2=1・・・1
1/1=1
フィボナッチになってるわけだ♪

3110'：3個の円に囲まれた面積 解答

問題3110の解答です ^^v

画像：上
・高橋道広さんのもの Orz〜

この問題はmennseki１のような問題を知っていたので興味を持ちました。
mennseki1の問題は　AB = tのとき面積を求めよ　という問題です。

さて今回の問題は　中の円の大きさを同じと考えるとABが直径で

π*(t/2)^2 - π*2×(t/4)^2 = π*t^2/8

となります。

* けっきょく...この図の究極の時＝中の円が0になるとき t=直径
なので...赤い部分の面積＝π*(t/2)^2
この赤い面積から...その隣にできる直径が半分の円の面積を引けばよいってわけなんだ♪
発想が素晴らしい♪
お気に入り ^^v

画像：下
・三角定規さんのもの Orz〜

弦の長さが一定ならば内側の2円の直径a，b が異なっても水色部の面積が一定になるのは， 式の上ではそのとおりでも，下図を素朴に見ると不思議ですよね。
もしや，赤線の左右は面積が等しいのか？ 調べてみましたが，そこまではいかないようですね。 　もひとつ，水色部分の重心は赤線上にあるのか？　ここまでいったら神秘なのですが，これも，そうではないようです。

たしかに...不思議だなあ...♪

* ちなみに...
逆に...中の円の半径をそれぞれ a,b とすると...
求める面積＝π*(r^2-(a^2+b^2))
=π*((a+b)^2-(a^2+b^2))
=2π*ab
これが...π*t^2/8=2π*ab なので...
ab=t^2/16
t=4√(ab)
になるわけですね...それがどうしたですけど...^^;

3110：3個の円に囲まれた面積

問題3110・・・Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/mondai/mondai87.htm　より Orz〜

図は、大円とその内部に含まれる２つの小円でそれぞれ接しています。 これらによって囲まれた部分（図中のブルーに色づけした部分）の面積を求めてください。 ただし、ABは２つの小円の共通接線の一部で、その長さをｔとします。













































解答

計算すれば出せますが...スマートな解法は次にアップしますね ^^