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問題2456・・・算チャレ掲示板にてMr.ダンディさん提示問 Orz〜
中身の見えない箱の中に、１〜７の番号の書かれた玉が１個ずつ、合計７個入っています。
いま、この袋の中から１個の玉を取り出し、玉に書かれた数を紙に左から順にメモして袋に戻すという作業を、紙に書かれた数字の合計が11以上11も含みます）になるまで繰り返します。 （紙に書かれた数の合計が11以上になったところで作業は終わります）
このとき、紙に書かれた数の列は何通り考えられるでしょうか。
解答
・わたしの
11=4+7 だから、、、
その前が、4〜10までを考える。
4：8*1=8
5：16*2=32
6：32*3=96
7：64*4=256
8：(128-1)*5=635・・・・・・8 はないので。
9：(256-2-1)*6=1518・・・・・8,9 はないので。
10：(512-2-2-1)*7=3549・・・・8,9,10 はないので。
合計=5094
どうも間違ってるようだけど,,,どこがおかしいんだろ ^^;?
・uchinyanさんからのコメ＆解答の一部 Orz〜
＞10：(512-2-2-1)*7=3549・・・・8,9,10 はないので。
ここがおかしいですね。
10 で 10 を作るのは 1 通り，9 で 10 をつくるのは 10 = 1 + 9 = 9 + 1 で 2 通りですが，
8 で 10 を作るのは，10 = 2 + 8 = 1 + 1 + 8 = 1 + 8 + 1 = 8 + 1 + 1 = 8 + 2 の 5 通りです。
＞合計=5094
ついでに足し算もおかしい？
11 以上になる一つ前の和を考える解法です。
一つ前の和は，10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 です。
10：8, 9, 10 の玉があれば 2^9 通りですが，10 を使う 1 通り，9 を使う 2 通り，8 を使う 5 通りを除くので，
2^9 - (1 + 2 + 5) = 512 - 8 = 504 通り。
9：同様にして，2^8 - (1 + 2) = 256 - 3 = 253 通り。
8：2^7 - 1 = 128 - 1 = 127 通り。
7：これ以降は除くものはないので，2^6 = 64 通り。
6：2^5 = 32 通り。
5：2^4 = 16 通り。
4：2^3 = 8 通り。
そこで，
504 * 7 + 253 * 6 + 127 * 5 + 64 * 4 + 32 * 3 + 16 * 2 + 8 * 1
= 3528 + 1518 + 635 + 256 + 96 + 32 + 8
= 6073 通り。
まったく浅はかだった...^^; Orz〜
・Mr.ダンディさんのもの Orz〜
1〜7の数を足していって、丁度ｎになるときの場合の数を a(n) とすると
a(1)＝1, a(2)＝2, a(3)＝4, a(4)＝8, a(5)＝16, a(6)＝32, a(7)＝64
n≧8 の場合は、一歩手前に何を足したかを考えると
a(n)＝a(n-7)＋a(n-6)＋a(n-5)＋a(n-4)＋a(n-3)＋a(n-2)＋a(n-1) となります。
（少し掘り下げると a(8)＝127 , ｎ≧9のとき a(n)＝2*a(n-1)−a(n-8) となります）
これによると a(8)＝127 ,a(9)＝253 ,a(10)＝504 ,a(11)＝1004, a(12)＝2000,・・・ となり
和が n以上 (n≧8)になるときの場合の数は
a(n-7)*1＋a(n-6)*2＋a(n-5)*3＋a(n-4)*4＋a(n-3)*5＋a(n-2)*6＋a(n-1)*7 で求まります。
よって ｎ＝11のときだから 8*1＋16*2＋32*3＋64*4＋127*5＋253*6＋504*7＝6073 となります。
なるほど!! 素敵だ・・・お気に入り♪
いろんな考え方があってとってもおもしろいですね〜〜〜^^v
・Mr.ダンディさんからのコメ Orz〜
『ｎ≧9のとき a(n)＝2*a(n-1)−a(n-8) となります』 ・・ここをわかり易く教えてください m(_ _)m
（これはわたしからの質問でした...^^;）
n-1≧8 より、a(n-1)＝a(n-8)＋a(n-7)＋a(n-6)＋a(n-5)＋a(n-4)＋a(n-3)＋a(n-2) です。
移項して a(n-7)＋a(n-6)＋a(n-5)＋a(n-4)＋a(n-3)＋a(n-2)＝a(n-1)−a(n-8) となります。
したがって
a(n)＝a(n-7)＋a(n-6)＋a(n-5)＋a(n-4)＋a(n-3)＋a(n-2)＋a(n-1)
＝{a(n-7)＋a(n-6)＋a(n-5)＋a(n-4)＋a(n-3)＋a(n-2)}＋a(n-1)
＝a(n-1)−a(n-8)＋ a(n-1)＝2*a(n-1)−a(n-8)
このように導けます。（この式がなくとも 各a(n)の値を計算できますが、こうしておくと楽になりますね）
なるほど...すっきり♪ Orz〜
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