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「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2461:余り

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問題2461(友人問)

多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1
は多項式 x^2+x+1 で割り切れるか。























































解答

これは定番ですよね ^^

・わたしの

(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=0 の1以外の根、つまり、ω、ω^2
ω^3=1
ω^100=(ω^3)^33*ω=ω
x^100+1=ω+1=-ω^2
(-ω^2)^100=ω^2
x^2+1=-ω
(-ω)^100=ω
結局、
ω^2+ω+1=0 なので、x^2+x+1 で割った余りは0=割り切れることがわかる♪

2460':通過範囲^4 解答

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問題2460の解答です ^^v

問題
方程式 y=2mx+m^2 において、定数 m が、0<m<2 の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を求めよ。

解答
x を定数とし、m の関数 F(m)=2mx+m^2 を考え、
y=F(m) (0<m<2) から、まず、y の値域を求める。

F(m)=m^2+2mx=(m+x)^2−x2  (0<m<2) なので、

(イ) −x≦0 すなわち、x≧0 のとき、 0<m<2 で y=F(m) は単調増加なので、

    F(0)<y<F(2) すなわち、 0<y<4x+4

(ロ) 0<−x≦1 すなわち、 −1≦x<0 のとき、 m=−x で最小で、

    F(−x)≦y<F(2) すなわち、 −x^2≦y<4x+4

(ハ) 1<−x<2 すなわち、 −2<x<−1 のとき、 m=−x で最小で、

    F(−x)<y<F(0) すなわち、 −x^2≦y<0

(ニ) −x≧2 すなわち、x≦−2 のとき、 0<m<2 で y=F(m) は単調減少なので、

    F(2)<y<F(0) すなわち、 4x+4<y<0

以上から、求める範囲は、上図のように求まる。
上記の範囲に、放物線 y=−x^2 (−2<x<0)上の点は含まれるが、それ以外の境界線上の点は含まれない。


別解
直線 y=2mx+m^2 と放物線 y=−x^2 は、接点P(−m,−m^2)で接する。
0<m<2 より、接点Pは、放物線 y=−x^2 上を、−2<x<0 の範囲で動く。


お気に入り♪

2460:通過範囲^4

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問題2460

方程式 y=2mx+m^2 において、定数 m が、0<m<2 の範囲の値をとるとき、
直線群の通り得る範囲を求めよ。


































































解答

次にアップしますね ^^

2459':通過範囲^3 解答

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問題2459

問題
方程式 y=2mx+m において、定数 m が、0<m<2 の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を別な方法で求めてみよう。

解答  
x を定数とし、m の関数 F(m)=2mx+m を考え、y=F(m) (0<m<2) から、
y の値域を求めようとする方法である。

F(m)=(2x+1)m  (0<m<2) なので、

(イ) 2x+1>0 のとき、 y=F(m) は単調増加で、 F(0)<y<F(2)
    すなわち、 x>−1/2 のとき、 0<y<4x+2

(ロ) 2x+1=0 のとき、 y=F(m)=0 で、 x=−1/2 のとき、 y=0

(ハ) 2x+1<0 のとき、 y=F(m) は単調減少で、 F(2)<y<F(0)

すなわち、 x<−1/2 のとき、 4x+2<y<0

以上から、求める範囲は、上のような図で表わされる。
上記の範囲に、点( −1/2 ,0 )は含まれるが、境界線上の点は含まれない。


なるほど♪

2459:通過範囲^3

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問題2459

方程式 y=2mx+m において、定数 m が、0<m<2 の範囲の値をとるとき、
直線群の通り得る範囲を求めよ。



























































































解答

次にアップしますね ^^

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