アットランダム≒ブリコラージュ

2461：余り

問題2461（友人問）

多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1
は多項式 x^2+x+1 で割り切れるか。























































解答

これは定番ですよね ^^

・わたしの

(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=0 の1以外の根、つまり、ω、ω^2
ω^3=1
ω^100=(ω^3)^33*ω=ω
x^100+1=ω+1=-ω^2
(-ω^2)^100=ω^2
x^2+1=-ω
(-ω)^100=ω
結局、
ω^2+ω+1=0 なので、x^2+x+1 で割った余りは0＝割り切れることがわかる♪

2460'：通過範囲^4 解答

問題2460の解答です ^^v

問題
方程式　ｙ＝２ｍｘ＋ｍ^2　において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２　の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を求めよ。

解答
ｘ を定数とし、ｍ の関数 Ｆ（ｍ）＝２ｍｘ＋ｍ^2　を考え、
ｙ＝Ｆ（ｍ）　（０＜ｍ＜２）　から、まず、ｙ の値域を求める。

Ｆ（ｍ）＝ｍ^2＋２ｍｘ＝（ｍ＋ｘ)^2−ｘ2　　（０＜ｍ＜２）　なので、

（イ）　−ｘ≦０　すなわち、ｘ≧０ のとき、　０＜ｍ＜２ で ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調増加なので、

　　　　Ｆ（０）＜ｙ＜Ｆ（２）　すなわち、　０＜ｙ＜４ｘ＋４

（ロ）　０＜−ｘ≦１　すなわち、 −１≦ｘ＜０ のとき、　ｍ＝−ｘ で最小で、

　　　　Ｆ（−ｘ）≦ｙ＜Ｆ（２）　すなわち、　−ｘ^2≦ｙ＜４ｘ＋４

（ハ）　１＜−ｘ＜２　すなわち、 −２＜ｘ＜−１ のとき、　ｍ＝−ｘ で最小で、

　　　　Ｆ（−ｘ）＜ｙ＜Ｆ（０）　すなわち、　−ｘ^2≦ｙ＜０

（ニ）　−ｘ≧２　すなわち、ｘ≦−２ のとき、　０＜ｍ＜２ で ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調減少なので、

　　　　Ｆ（２）＜ｙ＜Ｆ（０）　すなわち、　４ｘ＋４＜ｙ＜０

以上から、求める範囲は、上図のように求まる。
上記の範囲に、放物線 ｙ＝−ｘ^2　（−２＜ｘ＜０）上の点は含まれるが、それ以外の境界線上の点は含まれない。


別解
直線　ｙ＝２ｍｘ＋ｍ^2　と放物線 ｙ＝−ｘ^2 は、接点Ｐ（−ｍ，−ｍ^2）で接する。
０＜ｍ＜２ より、接点Ｐは、放物線 ｙ＝−ｘ^2 上を、−２＜ｘ＜０　の範囲で動く。


お気に入り♪

2460：通過範囲^4

問題2460

方程式　ｙ＝２ｍｘ＋ｍ^2　において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２　の範囲の値をとるとき、
直線群の通り得る範囲を求めよ。


































































解答

次にアップしますね ^^

2459'：通過範囲^3 解答

問題2459

問題
方程式　ｙ＝２ｍｘ＋ｍ　において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２　の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を別な方法で求めてみよう。

解答　　
ｘ を定数とし、ｍ の関数 Ｆ（ｍ）＝２ｍｘ＋ｍ　を考え、ｙ＝Ｆ（ｍ）　（０＜ｍ＜２）　から、
ｙ の値域を求めようとする方法である。

Ｆ（ｍ）＝（２ｘ＋１）ｍ　　（０＜ｍ＜２）　なので、

（イ）　２ｘ＋１＞０　のとき、　ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調増加で、　Ｆ（０）＜ｙ＜Ｆ（２）
　　　　すなわち、　ｘ＞−１/２　のとき、　０＜ｙ＜４ｘ＋２

（ロ）　２ｘ＋１＝０　のとき、　ｙ＝Ｆ（ｍ）＝０ で、 ｘ＝−１/２　のとき、　ｙ＝０

（ハ）　２ｘ＋１＜０　のとき、　ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調減少で、　Ｆ（２）＜ｙ＜Ｆ（０）

すなわち、　ｘ＜−１/２　のとき、　４ｘ＋２＜ｙ＜０

以上から、求める範囲は、上のような図で表わされる。
上記の範囲に、点（ −１/２　，０ ）は含まれるが、境界線上の点は含まれない。


なるほど♪

2459：通過範囲^3

問題2459

方程式　ｙ＝２ｍｘ＋ｍ　において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２　の範囲の値をとるとき、
直線群の通り得る範囲を求めよ。



























































































解答

次にアップしますね ^^