アットランダム≒ブリコラージュ

2477：Ferrari の解法

問題2447・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htm　より Orz〜

４次方程式　Ｘ^4−８Ｘ^3＋２８Ｘ^2−８０Ｘ＋４８＝０　を解け。






























































解答

上記サイトより Orz〜

５次以上の方程式には解の公式は存在しない（Ａｂｅｌ）が、４次以下の方程式については、解の公式が存在する。１次方程式、２次方程式、３次方程式、４次方程式の解の公式は、古くから既に知られている。

４次方程式の解の公式（Ferrariの解法）
４次方程式 Ｘ^4＋ａＸ^3＋ｂＸ^2＋ｃＸ＋ｄ＝０　において、Ｘ に Ｘ−ａ/4 を代入することにより、Ｘ^3 の項を消滅させることができるので、はじめから、４次方程式は、
Ｘ^4＋ｐＸ^2＋ｑＸ＋ｒ＝０
の形としてよい。このとき、
ｑ^2−４（２λ−ｐ)(λ^2−ｒ）＝０
を、４次方程式の分解方程式という。
もし、このような解λがあれば、
（Ｘ^2＋λ）^2＝Ｘ^4＋２λＸ^2＋λ^2
＝（２λ−ｐ）Ｘ^2−ｑＸ＋λ^2−ｒ
＝(ｍＸ＋ｎ）^2
となる ｍ，ｎ が存在し、４次方程式の問題は、２つの２次方程式
Ｘ^2＋λ＝±(ｍＸ＋ｎ）
の問題に帰着され、解けることになる。

求める解を Ｘ とし、Ｙ＝Ｘ−２ とおく。　Ｘ＝Ｙ＋２ を、方程式に代入して、
（Ｙ＋２）^4−８（Ｙ＋２）^3＋２８（Ｙ＋２）^2−８０（Ｙ＋２）＋４８＝０
展開して、左辺を整理すると、
Ｙ^4＋４Ｙ^2−３２Ｙ−４８＝０
このとき、分解方程式は、
（−３２）^2−４（２λ−４）（λ^2＋４８）＝０
よって、
λ^3−２λ^2＋４８λ−２２４＝０
この３次方程式の左辺は、（λ−４)(λ^2＋２λ＋５６） と因数分解され、解の一つとして、
λ＝４
を得る。このとき、
（Ｙ^2＋４）^2＝Ｙ^4＋８Ｙ^2＋１６
＝（−４Ｙ^2＋３２Ｙ＋４８）＋８Ｙ^2＋１６
＝４Ｙ^2＋３２Ｙ＋６４
＝４(Ｙ＋４)^2
より、２つの２次方程式
Ｙ^2＋４＝±２（Ｙ＋４）
すなわち、
Ｙ^2−２Ｙ−４＝０　、　Ｙ^2＋２Ｙ＋１２＝０
を得る。
これを解いて、1±√5　、-1±√-11　
ところで、Ｘ＝Ｙ＋２ なので、
3±√5、1±√-11　　　　　　　　　　　　、　
が、４次方程式の解となる。


すごい発想ですね〜♪

2476'：二重根号^2 解答

問題2476の解答です ^^v
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign.htm　より Orz〜


上のように、α、β　とおくと、　β＜α　で、
α^3＋β^3＝−３６　、　αβ＝−１
である。
このとき、　α^3＋β^3＝（α＋β）^3−３αβ（α＋β）＝−３６　より、（α＋β）^3＋３（α＋β）＋３６＝０
ｘ＝α＋β　とおくと、　ｘ^3＋３ｘ＋３６＝０　で、　（ｘ＋３）（ｘ^2−３ｘ＋１２）＝０
ｘ は実数なので、　ｘ^2−３ｘ＋１２≠０　より、　ｘ＝−３
このとき、　α 、β　は、２次方程式　ｔ^2＋３ｔ−１＝０　の解となる。
解の公式より、画像
よって、　β＜α　より、画像（終）



なるほど♪

2476：二重根号^2

問題2476・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign.htm　より Orz〜

上の二重根号をはずせ。































































解答

次にアップしますね ^^

2475：二重根号

問題2475・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign.htm　より Orz〜

次の二重根号をはずせ。

√(3+√5)















































































解答

上記サイトより Orz〜

√((6+2√5)/2)=√(6+2√5)/√2=(√5+1)/√2=(√10+√2)/2


なるほど♪

2474'：3次方程式 解答

問題2474の解答です ^^v
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution3.htm　より Orz〜

この方程式については、次のように明解に解かれる方法が知られている。

Ｙを複素数として、Ｘ＝Ｙ＋１/Ｙ　とおく。これを３次方程式に代入して分母を払い整理すれば、
Ｙ^6＋Ｙ^5＋Ｙ^4＋Ｙ^3＋Ｙ^2＋Ｙ＋１＝０
となる。両辺に、Ｙ−１ を掛ければ、　Ｙ^7−１＝０　となる。
したがって、Ｙ は、（１と異なる）１ の７乗根である。
１ の７乗根は、ζ^ｎ＝ｅｘｐ（２ｎπｉ/７）（ｎ＝１、２、３、４、５、６　ｉ は虚数単位）　と書ける。
このとき、Ｘ＝Ｙ＋１/Ｙ＝ζ^ｎ＋ζ^−ｎ＝２ｃｏｓ（２ｎπ/７）　となる。
ｎ＝１、２、３、４、５、６　を代入して異なるものを求めれば、３次方程式の解は、
−２ｃｏｓ（π/７）　、−２ｃｏｓ（３π/７）　、２ｃｏｓ（２π/７）
となる。
３次方程式の３つの解 α 、β 、γ は、上記の計算から、
α＝２ｃｏｓ（２π/７）　、　β＝−２ｃｏｓ（π/７）　、　γ＝−２ｃｏｓ（３π/７）
とおくと、　α＝ζ＋ζ^6　、　β＝ζ^3＋ζ^4　、　γ＝ζ^2＋ζ^5　と書ける。
この３つの数を、１の７乗根 ζ を用いて、次のように構成してみよう。

有理数体 Ｑ に、ζを添加した体 Ｑ（ζ）において、その自己同型写像 τ を、
τ（ζ）＝ζ^3
で定義する。このとき、　α＝ζ＋τ^3（ζ）　とおくと、　α＝ζ＋ζ^6　で、
τ^3（α）＝τ^2（τ（α））＝τ^2（ζ^3＋ζ^4）＝τ（ζ^2＋ζ^5）＝ζ^6＋ζ＝α
で、　β＝τ（α）＝ζ^3＋ζ^4　、　γ＝τ（β）＝τ^2（α）＝ζ^2＋ζ^5　　とおく。
このとき、　α＋β＋γ＝ζ＋ζ^6＋ζ^3＋ζ^4＋ζ^2＋ζ^5＝−１

αβ＋βγ＋γα
＝（ζ＋ζ^6）（ζ^3＋ζ^4）＋（ζ^3＋ζ^4）（ζ^2＋ζ^5）＋（ζ^2＋ζ^5）（ζ＋ζ^6）
＝ζ^4＋ζ^5＋ζ^2＋ζ^3＋ζ^5＋ζ＋ζ^6＋ζ^2＋ζ^3＋ζ＋ζ^6＋ζ^4
＝２（ζ^6＋ζ^5＋ζ^4＋ζ^3＋ζ^2＋ζ）＝−２

αβγ＝（ζ＋ζ^6）（ζ^3＋ζ^4）（ζ^2＋ζ^5）
＝（ζ^4＋ζ^5＋ζ^2＋ζ^3）（ζ^2＋ζ^5）
＝ζ^6＋ζ^2＋１＋ζ^3＋ζ^4＋１＋ζ^5＋ζ＝１

より、３つの数 α、β、γ は、３次方程式 ｘ^3＋ｘ^2−２ｘ−１＝０　の解となる。

このとき、　
α^2＝（ζ^6＋ζ）^2＝ζ^5＋２＋ζ^2＝γ＋２　より、　γ＝α^2−２
β^2＝（ζ^3＋ζ^4）^2＝ζ^6＋２＋ζ＝α＋２　より、　α＝β^2−２
γ^2＝（ζ^2＋ζ^5）^2＝ζ^4＋２＋ζ^3＝β＋２　より、　β＝γ^2−２

以上から、解の巡回関数として、　Ｇ（ｘ）＝ｘ^2−２　とおくと、
Ｇ（α）＝γ　、Ｇ（γ）＝β　、Ｇ（β）＝α
が成り立つ。



なんだかすごい♪