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問題2496・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org/ より Orz〜
上の図のような、半径３cm、高さ４cmの円柱があります。Ｏはこの円柱の上面の円の中心、Ｏ’は下面の円の中心です。また、ＡＣ、ＤＢは上の面の円の直径で、互いに垂直に交わります。さらに、Ａ，Ｂ，Ｃ、Ｄから下面に下ろした垂線の足をＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとし、線分ＡＥ上に、ＡＩ＝３cmとなる点Ｉをとります。
いま、
（１）３点Ａ，Ｃ，Ｆを通る平面でこの円柱を切断し、さらに
（２）３点Ｄ、Ｂ、Ｉを通る平面でこの円柱を切断します。
すると切断面は上の図のような曲線になりました。図中の点Ｐは、（１）、（２）によって円柱の側面上に出来た２つの曲線の交点を表しています。また、Ｐから下面に下ろした垂線の足をＱとします。
このとき、ＰＱの長さは何cmかを求めてください。
解答
・Taroさんのもの Orz〜
平面の式を思い出しながら解きました。
4y-3z=0
x^2+y^2=9
x-z=0 これよりz=-2.4
・algebraさんのもの Orz〜
Ｏ(0,0,0),Ａ(-3,0,4),Ｂ(0,-3,4),Ｃ(3,0,4),Ｄ(0,3,4),Ｆ(0,-3,0),
Ｉ(-3,0,1) とおく。
Ａ,Ｃ,Ｆを通る平面の方程式は 4ｙ−3ｚ＋12＝0…��
Ｂ,Ｄ,Ｉを通る平面の方程式は ｘ−ｚ＋4＝0…��
ｘ＾2＋ｙ＾2＝9…��
� 銑�、0≦ｚ≦4 より、ｚ＝8/5
とりあえず、高校数学で解きました。
・Mr.ダンディさんのもの Orz〜
Ｐを通る底面に平行な面で切断した断面図の円Ｏ''と赤線,緑線とのＰ以外の交点をそれぞれＲ,Ｓとします。 またＰＲ,ＰＳの中点をそれぞれＴ,Ｕとするとき、OO'''＝OO''−PQ＝ｔ（cm） とすれば
△OO'F において相似より Ｏ''Ｔ＝（3/4）ｔ
△OUO''においても同様にして Ｏ''Ｕ＝ｔ
よって、△O''TU は 3：4：5の直角三角形となり
ＰＯ''＝ＴＵ＝（5/4）ｔ となり、この値は３cmだから ｔ＝12/5
したがって、ＰＱ＝4−(12/5)＝8/5（cm）
・abcさんのもの Orz〜
点Ｐから円柱の上面の円に下ろした垂線の足をＲ，点Ｒから直径ＡＣと直径
ＢＤに下ろした垂線の足をそれぞれＳ，Ｔとする。
ＯＳ：ＯＴ：ＯＲ＝４：３：５でＯＳ＝３×４／５＝１２／５ｃｍ
∴ ＰＲ＝ＡＩ×ＯＳ／ＯＡ＝１２／５ｃｍ
よって、ＰＱ＝４−ＰＲ＝８／５ｃｍ…（答）
（なお、赤の曲線は半径３ｃｍの円を一定方向に５／３倍に拡大した、長軸 １０ｃｍ、
短軸６ｃｍの楕円、緑の曲線も同様に長軸６√２ｃｍ、短軸 ６ｃｍの楕円になります。）
画像：はなうさんのもの Orz〜
こういうイメージが湧かなきゃ解けないなあ...^^;
画像：なかさんのもの Orz〜
「Ａの方向から見るのもいいですね 」
わたしはこのイメージで辿り着けました ^^;
画像：英ちゃんさんのもの Orz〜
「側面を描くとこうなりますね。やっぱりサインカーブでした。 ちなみに緑の線はy=8/5です。」
とにかく難しい問題でした...
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