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問題2431・・・ばち丸さんのブログ http://blog.goo.ne.jp/akeot/e/d2c14509a10b064f10232d1046aee9ec より Orz〜
(a^log(a))・(b^log(b))＝c^log(c)
をみたす整数の組み合わせ(a,b,c)は存在するでしょうか。
存在するなら一組求めてください。
存在しないならそれを証明してください。
ただし対数の底は10とします。
解答
・uchinyanさんのもの Orz〜
存在します
自明な解、(a,b,c) = (a,1,a), (1,b,b)
自明ではない解：(a,b,c) = (10^3,10^4,10^5) など
・わたしの
(log a)^2+(log b)^2=(log c)^2
を満たす整数であればいいのかな・・・
・Mr.ダンディさんのもの Orz〜
(p,q,r)＝(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25)・・
などのようなピタゴラス数の場合
ａ＝10^p ,ｂ＝10^q ,10^r とするとき
(a,b,c)の組み合わせはすべて与式をみたす
・ハルさんのもの Orz〜
与式(a^log(a))・(b^log(b))＝c^log(c)
⇔ (log a)^2+(log b)^2=(log c)^2
⇔ ｎを1以外の正の実数とすると、(logｎ a)^2+(logｎ b)^2=(logｎ c)^2…（A)
p=logｎ a,q=logｎ b,r=logｎ cとすると、
p^2+q^2=r^2 …（B)
⇔ a=n^p,b=n^q,c=n^r,p^2+q^2=r^2
問題は（A)と（B)が必要十分と言えるかどうか。
もし必要十分であるならば、（B)が一般解ということになります。
この点、（B)⇒（A)は明らかですが、（A)⇒（B)は成立しないと思います。
例えばの話、p=(logｎ a)^2とおくことも出来る訳ですし。
結局（B)は与式の一般解ではないと思います。
・uchinyanさんのコメント Orz〜
p, q, r が一般に実数でいいならば，(A)⇔(B) でいいと思いますよ。
p = (logn a)^2 なども，
(√p)^2 + (√q)^2 = (√r)^2, a = n^(√p), ...
となるだけで，√p などはどのみち実数ですから，同じことです。
そもそも，n を 1 以外の自然数，x を実数にとれば，
f(x) = n^x はすべての正の実数を表現できるので，
p, q, r を実数として，a = n^p, b = n^q, c = n^r とおくのは不自然ではありません。
ただ，p, q, r が一般に実数だと，
a, b, c が整数になるかどうかは分かりませんよね。
a, b, c が正の整数という条件で，p, q, r を絞り込むことがポイントでしょう。
p, q, r が整数になればハルさんの解で尽くされていることになります。
＞もっとも、a,b,cが自然数であるという条件の下ならば
＞（A)⇒（B)が成り立ち（A)（B)は同値であると言えそうに思います。
多分これは同じことを言っているのだろうと思います。
整数の無理数乗でも整数になることがあります。
このことを使えば，実は，Mr.ダンディさんの解もおかしくはなく，
p -> p * log(n) などと p などを実数の範囲に拡張すれば，
ハルさんの解に等価になります。
つまり，その分の記述の自由度があるわけです。
ハルさんの表現は，その自由度を n^p の n に封じ込めているように思います。
その意味で筋がいいのかもしれないな，と思っています。
後は，a, b, c が正の整数ということから，
p, q, r を絞り込む，整数を考えれば十分，がいえればいいのですが．．．
なるほど・・・
そこまで考えてなかったけど・・・^^;
整数n の無理数(かどうか?)乗も整数になることがあるってことがいえるのか...^^
log の考えからすれば当たり前とはいえ...^^;
n^x=m
x*log n=log m
x=log m/log n=log(n) m
n^(log(n) m)=m
おもしろいですね♪
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