アットランダム≒ブリコラージュ

2433：場合の数

問題2433（友人問）

1から10までの番号のついた10個のボールをA,B,C,D,Eの5つの箱に、
どの箱にも少なくとも1個のボールが入るように入れる入れ方は何通りか。





















































・わたしの

n 個の箱に入れる場合の数を f(n) で表わす。
f(5)=5^10-(5C1*f(4)+5C2*f(3)+5C3*f(2)+5C4*f(1))
f(4)=4^10-(4C1*f(3)+4C2*f(2)+4C3*f(1))
f(3)=3^10-(3C1*f(2)+3C2*f(1))
f(2)=2^10-2C1*f(1)
f(1)=1

f(2)=2^10-2
f(3)=3^10-3*(2^10-2)-3
f(4)=4^10-4*(3^10-3*2^10-2)-3)-6*(2^10-2)-4
f(5)=5^10-5*(4^10-4*(3^10-3*2^10-2)-3)-6*(2^10-2)-4)-10*(3^10-3*(2^10-2)-3)-10*(2^10-2)-5
=5^10-5*4^10+10*3^10-10*2^10-30
=5102965

計算が合ってれば...^^;...こうなるのかな・・・？

・友人からのもの

空箱の有無を考えない入れ方の総数：5^10
A,B,C,D,E の一つが空箱である入れ方の延べ数：5C2*4^10
2つが空箱である入れ方の延べ数：5C2*3^10
3つが空箱である入れ方の延べ数：5C3*2^10
4つが空箱である入れ方の延べ数：5C4*1^10
よって、包徐原理により、求める場合の数は
5^10-5*4^10+10*3^10-10*2^10+5
=9765625-5242880+590490-10240+5
=5103000 通り

これって合ってるのかなあ・・・？
残り3個に3^10 通り入れたって、空箱は3個のときも4個のときもあるはずだけど...

2432：体積（正四角錐の重なり）

問題2432・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org/　より Orz〜

上の図のような、底面が一辺の長さが６cmの正方形で、高さが６cmの正四角すいＯＡＢＣＤがあります。
いま、底面ＡＢＣＤ上に図のような位置（※１）に点Ｐをとります。さらに、点Ｐから１cm高い位置にある点（※２）をとり、この点と頂点Ａ’が重なるように正四角すいＯ’Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’を作ります。ただし、正四角すいＯ’Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’は、正四角すいＯＡＢＣＤを平行移動したものです。
このとき、正四角すいＯＡＢＣＤと正四角すいＯ’Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’の重なりの部分の立体の体積は何ｃｍ3を求めなさい。
（※１）・・・Ｐを通りＡＢと平行な直線と辺ＢＣとの交点がＢから４cm、Ｐを通りＢＣと平行な直線と辺ＡＢとの交点がＢから３cmとなるような位置、ということです。
（※２）・・・Ａ’Ｐ＝１ｃｍかつＡ’Ｐ⊥底面ＡＢＣＤかつＡ’は正四角すいの内部、ということです。
















































































解答

・uchinyanさんのもの Orz〜

解法は，よくやるように，断面図を使って比の関係から，△OCD と O'A' との交点 Q，△O'A'B' と OC との交点 R の位置を求め，
求める立体の形状を確認して体積を計算する，というものです。
ただ，図を使わないと説明しづらいので，方針と結果だけを示します。

AC と BD の交点を M とし，M の移動先を M' とします。
まず明らかに，求める立体は，□A'B'C'D' に含まれる長方形を底面にもち，その頂点の一つは A'，他の二つは A'B' 上と A'D' 上にあります。
これを，□A'STU とします。ただし，S は A'B' 上，U は A'D' 上にあるとします。
そして，PA' = 1 cm に注意すると，A'S = 3 - 3 * 1/6 = 5/2 cm，A'U = (3 - (4 - 3)) - 3 * 1/6 = 2 - 1/2 = 3/2 cm です。
さていよいよ，Q の位置を求めます。これには，△O'A'M' を含む断面を考えます。
比の関係を使って調べていくと，Q は，□A'STU より上に A' を基準に，横 3/4 cm，縦 3/4 cm，高さ 3/2 cm の位置にあると分かります。
次に，R の位置を求めます。これには，△OCM を含む断面を考えます。
比の関係を使って調べていくと，R は，□A'STU より上に A' を基準に，横 7/4 cm，縦 3/4 cm，高さ 3/2 cm の位置にあると分かります。
これは，S を基準にすれば，横 3/4 cm，縦 3/4 cm，高さ 3/2 cm の位置にあります。
(頭の中で解いていたときは，ここで PA' = 1 cm の処理を誤っていたようです。)
求める立体は明らかに平面から構成されているので，
求める立体は，□A'STU を底面とし，Q と A', U とを，R と S, T とを，Q と R とを，それぞれ結んだものになります。
以上から，体積は，Q を通り □A'STU と垂直な平面，R を通り □A'STU と垂直な平面，で分割すると，四角すい二つと三角柱一つになり，
3/2 * 3/4 * 3/2 * 1/3 + 3/2 * 3/2 * 1/2 * (7/4 - 3/4) + 3/2 * 3/4 * 3/2 * 1/3
= 9/16 + 9/8 * 1 + 9/16
= 9/8 + 9/8
= 9/4 cm^3
となります。

・ma-mu-taさんのもの Orz〜

横に倒した断頭三角柱
断面が底辺3/2で高さ3/2の二等辺三角形、高さは3辺(1,5/2,5/2)の平均で、
体積は、3/2×3/2×1/2×(1+5/2+5/2)/3=9/4

・abcba@jugglermokaさんのもの Orz〜

今回は重なり部分の立体の底面以外の面(三角形)は元の四角すいの底面以外の面（三角形）と相似もしくはその一部になっているところがポイントでした。
相似を用いると重なり部分の底面は1.5×2.5の長方形になる事は直ぐに分かります。底面以外の面は元の四角すいの三角形面と相似な三角形が２つ(長さが1.5なので高さが1.5と求まる。)と三角形面と相似な三角形の一部で構成される立体になる。
この立体は底面が1.5×0.75高さが1.5の四角錐が2つと、底面が1×1.5高さが1.5の四角柱の半分の体積の立体に分割できるので、
1.5×0.75×1.5÷3×2+1×1.5×1.5÷2=(9/8)+(9/8)=9/4
と求めました。


いずれにしろ,,,さっぱりわからなかった...^^;
イメージしてた図形じゃなかったし...ぐやじ〜
以下の、CRYING DOLPHINさんの CG でやっと具体的な図形の姿が垣間見れました♪ Orz〜
http://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/q637-yane.htm