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難しいけど、、、ここもとってもおもしろそうな ブログ♪「TOSHIの宇宙４」より Orz〜
原始根のこともよくわからないままのわたしなもので、、、そのまんまコピぺです...^^; m(_ _)m
http://blogs.yahoo.co.jp/ggb01540/folder/109947.html?m=lc&p=1#711698 より Orz〜
素数を分母とする循環小数とその周辺
「素数を分母とする循環小数の周辺の話題について書いてみます。
10と互いに素な素数,つまり,2と5を除く素数ｐを分母とする分数1/ｐを1/ｐ＝ 0.ａ1ａ2...ａmａ1ａ2...ａmａ1ａ2...ａm...なる循環小数で表わすと,10^m/ｐ−1/ｐ＝(10^m−1)/ｐ＝10^(m-1)ａ1＋10^(m-2)ａ2＋...＋ａm ＝(自然数)となりますから,1/ｐの循環節の長さ)は(10m−1)をｐで割ったときに割り切れるような自然数ｍの最小値であるということができます。
例えば,分数1/7(ｐ＝7)を考えたとき,10^6−1＝999999,つまり,ｍ＝6の10^m−1を7で割ると割り切れて,商は142857です。一方,1/7を小数で表現すると1/7＝0.142857142857142857....となりますから循環節の長さは確かに6です。
フェルマー(Fermat)の小定理によって10^p-1≡1(modｐ)が成立しますから,このように(10^m−1)をｐで割ったときに割り切れるような最小の整数ｍは,必ず(ｐ−1)の約数ですね。というわけで循環節の長さが最大となるのはｍ＝ｐ−1のときです。
※ 2006年9/12の記事「オイラーの定理とフェルマーの小定理」,そして続く9/13の記事「フェルマーの小定理の別証明」も参照してください。 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/09/post_f7b9.html http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/09/post_72eb.html
それでは,ｍが丁度(ｐ−1)になるのはどういう場合でしょうか？
それはｋ＝1,2,..,(ｐ−2)に対しては決して10^k≡1(modｐ)とならないときですから,ｐが10を原始根とする場合です。
つまり,「体:(Ｚ/ｐＺ)からゼロと合同な元を除いた既約剰余類の作る巡回群＝(Ｚ/ｐＺ)×」を剰余類ｒの巡回群として＜ｒ＞＝{1,ｒ,ｒ^2,ｒ^3．．,ｒ^(p-2)}＝{1,2,．．,ｐ−1}と書くことができるとき,ｒとして取りうる値がｐの原始根なのですが,ｐが10を原始根とする場合に限って1/ｐの循環節の長さが(ｐ−1)になるのです。
例えば,ｐ＝7のとき10,10^2,10^3,10^4,10^5,10^6は7を法として,それぞれ,3,2,6,4,5,1となりますから,この場合は10は原始根であり,確かにｐ−1＝6が循環節の長さです。
ガウス(Gauss)によると100までの数で10を原始根とする素数は7,17,19,23,29,47,59,61,97の９個だそうですから,例えば 1/47 は循環小数としては小数点以下 46 桁までを繰り返すということになりますね。
実数ｘ以下の自然数で10を原始根とする素数ｐの個数をπ_10(ｘ)とし素数全体の個数をπ(ｘ)として,そのｘ→ ∞での比をＣとすると[π_10(ｘ)/π(ｘ)]→Ｃですが,アルティン(E.Artin)によるとＣ＝Π[1−1/ｐ(ｐ−1)]〜 0.37395 だそうです。
アルティンのこの予想が正しいとするならば,素数定理π(ｘ) 〜 (ｘ/logｘ)(ｘ→ ∞)を用いることでπ_10(ｘ)〜Ｃ(ｘ/logｘ)と書けることになります。
ところで,オイラー(Euler)によるゼータ関数ζ(ｓ)の素数ｐによる無限積表示ζ(ｓ)＝Π(1−1/ｐ^s)^-1でｓ＝1と置けば,Π(1−1/ｐ)-1＝(1/ｎ)です。
1n[1/(ｋ＋1)]＜∫1n(1/ｘ)ｄｘ＜1n(1/ｋ)より,0＜[1n(1/ｋ)−logｎ]＜1なので1n(1/ｋ)−logｎ→γ as ｎ→ ∞ (ただし,γはオイラー数で0＜γ＜1)ですから,1x(1/ｎ)〜 logｘ as ｘ→ ∞が得られます。
したがって,オイラーの無限積表示Π(1−1/ｐ)-1＝(1/ｎ)は[−log(1−1/ｐ)] 〜 log(logｘ)であることを意味しています。ところがlog(1−ｘ)〜 −ｘですから,これは(1/ｐ)〜 log(logｘ)であることを示唆していて,素数定理への入り口を与えるものでしょう。
素数定理π(ｘ) 〜 (ｘ/logｘ)の証明には「ζ(ｓ)の自明でない零点は全て Re(ｓ)＝1/2 の上にある。」というリーマン予想(Riemann's hypothesis)は必要なくて「ζ(ｓ)が Re(ｓ)≧1では零にならない。」という性質だけで十分であり,これを用いてアダマール(Hadamard)らによって素数定理は既に証明されています。
しかし,リーマン(Riemann)はリーマン予想を解決することでもっと複雑な素数公式を得ることを目指していたらしいですね。
参考文献；黒川信重 他 著「ゼータの世界」(日本評論社) 」
こういう話題大好き♪
原始根に関してはいずれアップ予定...のつもり...わかればね...^^;v
画像：ブログ「TETRA'S MATH」math.artet.net/?cid=16538 より Orz〜
「原始根rは（p−1）乗ではじめて1になるわけですが、（p−1）/2 乗は、その√をとるようなものなので、1か−1になってほしい、でも1にはなれないので、−1。ゆえに−1と結論づけるのはまだ納得がいかないけれど、少なくとも辻褄はあうなぁ〜とそれなりの感動があります。
考えてみれば、原始根でなくても、（p−1）乗で1になるのだから、（p−1）/2 乗では1か−1になっているはず。たとえば法13の場合だと、こんな感じです。（画像）
そうなってないとおかしいのだけれど、なっていればなっていたでなんか不思議だー。
この、「1か−1になる」「1になる」「−1になる」ということが、平方剰余と関わってくるというのがとても面白いです。」
おもしろい・・・また続きを読みに行ってみよ〜〜〜♪
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