アットランダム≒ブリコラージュ

ファッションリング

今日は7時からの研究会まで3時間ほど時間つぶしにIONにふらっとお出かけ・・・^^
なんとはなしに...キラキラグッズのお店に吸い寄せられるように入ってって、、、この物をゲット♪
わたしゃ、、、フェミニンっぽいのか・・・^^;...
こんな小物が大好きになっちまってる...
今まで何個もすぐ紛失・・・^^;?
取り敢えずしばらくはこいつと一緒の時間を過ごす予定♪
そのあとまだ時間余ってたから車中でしばし仮眠・・・グ〜〜〜...
さすがに、、、今日はまだ眠い...Good Night...

2648：平行な2直線間の距離

問題2648・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16985789.html　より Orz〜

平行な2直線 x+2y+5=0, x+2y-1=0 の間の距離を求めなさい.









































解答

基本的な問題ですよね・・・図形で考えればいいですね♪

・わたしの

傾きは、-1/2
sin 30°=1/2
2本の平行線間の距離は、図形的にｙ切片間*sin 30°
y切片の値はそれぞれ、y=-5/2, y=1/2
1/2-(-5/2)=3
3*sin 30°=3/2
間違いに気付いたもので...^^;
傾き1/2 はtanでした...
2^2+1^2=(√5)^2
3*(2/√5)=3*2/√5=6√5/5
ですね・・・^^ Orz...

上記サイトより Orz〜

x = 0 で
y = 1/2
y = -5/2
で距離は3
問題に垂直な直線の1つは
y = 2x、x = 1 と３角形を作る。
ここで辺の比は１：２：√５となることから、
∴直線同士の距離は6/√5
なので有理化すると、6√5/5

同じ方法によるよりないですね...
簡単にはね・・・ベクトルとか点と直線の距離の式なんて使わなくってもね...^^v

2647：φφn

問題2547・・・ひよこさんのサイト http://myhome.cururu.jp/gersdorffite/blog/article/71002738326　より Orz〜

φφn がnの約数となるような自然数nを全て求めよ。

＜おまけ＞
n/(φφn) の取りうる整数値を全て求めてください。
（本題の結論がでれば自動的にでてくることでしょう）
n/φn の取りうる整数値と比較してみてください。
(n/φnの取りうる整数値は 4, 6, 9 の3つです）

























































解答

・わたしの

n=p (素数）のとき、
φ(p)=p-1
φ(p-1) が、p の約数になるには、p-1=1 or 2
つまり、p=2 or 3

n=p*q のとき、奇素数因子が2個以上の時は、
φφ　は、2をもつのでむり。

n=2q のとき、
φ(2*q)=(q-1)
φ(q-1) が、2q の約数になるには、q-1=1 or 2
q-1=1 のとき、q=2
q-1=2 のとき、q=3

けっきょく、1以上の整数をmとするとき、
2^m
2^m*3
3

＜おまけ＞
n/(φφn) の取りうる値は、、、2, 3, 4, の３つ

でいいのかな・・・？

2時に叩き起こされ3時に病院到着...目が覚めて眠れぬままアップしてます...^^;v

どうも、、、全然いい加減な考え方のようでした...^^;; Orz...
φ(q-1) が、2q の約数になるのは、、、φ(q-1) が 1か、2 になればいいけど、、、
そもそもそれが、q-1=1,2 と同値ではないんだ...

・否定する者さんからの解説をいただきました♪m(_ _)m

「φ(n)=k のときの n の(手計算での)求め方」
kが2の冪乗の場合は簡単に全て求めることができる。
一般の場合については、v_2(k)の値から、
nの素因数の個数を上から抑えてしまって、
あとは細かい場合を調べていくのがいいとおもう。
（一発で"全て"求めることができる明示的な式は知られていない）

この問題ではkが2の冪乗であるから、
前にも挙げた次の補題がよく機能する。

「補題」
整数n＞1に対して、
φ(n)が奇素因数を持たないとき、
q|nなる任意の素数qに対して、
qは、2かフェルマ素数のいずれかである。
また、nが奇素因数を持っているとしたら、
それらの指数は全て1である。

これを使えば次がすぐにわかる。

整数n＞1がφ(n)=8 を満たしているとき、
nが奇素因数を持っているとしたら、それは3か5である。
そして、それらの指数は高々1である。
ということは、nの候補としては、n=2^v*3^s*5^t (v≦4, sとtは0,1のどれか)
sとtがともに1である場合を除けば、s,tが定まることで、vは一意的に定まる。
具体的には、v=4-s-2t となる。
sとtがともに1である場合はv=0, 1のいずれかである。（どちらの場合もＯＫ）
以上の考察から全てもとまったといえる。

なるほど,,,2の冪乗以外の時は難しそうね...^^;

2646：直線の通る面積

問題2646・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16897916.html　より Orz〜

座標平面上に2点P(0, t), Q(1-t, 0)がある.
tが0から1まで動くとき, 線分PQが通過する範囲をSとする.
Sの面積を求めなさい.


































































解答

上記サイトより Orz〜

直線PQの方程式は,tx+(1-t)y-t(1-t)=0
直線上で,x座標がk(0<k≦1)となる点のy座標は,t-kt/(1-t) (t≠1)
f(t)=t-kt/(1-t)とおくと,
f'(t)=1-k/(1-t)^2
f'(t)=0とすると,0≦t<1ではt=1-√k
(0≦t<1の範囲で増減表を書く.)
f(t)はt=1-√kのとき最大値k-2√k+1をとる.
また,k=0のとき明らかにt=1でy座標は最大値1をとるので,このときも合わせて考える.
面積は,∫[0→1](k-2√k+1)dk=[(1/2)*k^2-(4/3)*k^(3/2)+k][0→1]=1/6


なるほど♪
苦手というか遠ざかってるもので諦めてたけど...
ついて行けました ^^
その直線の最高点が通過する面積で考えればいいんだ!!
クレバーだね♪お気に入り ^^v