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問題2649・・・ひよこさんのサイトで否定する者さんからの提示問 Orz〜
http://myhome.cururu.jp/gersdorffite/blog/article/70002755419 より Orz〜
φ(n) = 2^100 を満たす整数n＞1はいくつあるか.
解答
・わたしの
少し前に否定する者さんから解説をいただいたので...それに従って...^^
フェルマー素数：2^(2^n)+1 で、、、
調べると、、、2^100 までには、（wikiより）
F0 = 2^1 + 1 = 3
F1 = 2^2 + 1 = 5
F2 = 2^4 + 1 = 17
F3 = 2^8 + 1 = 257
F4 = 2^16 + 1 = 65537
F5 = 2^32 + 1 = 4294967297
の6個。
つまり、2*Fo*F1*・・・*F5 から、
2^6=64
すべてのフェルマー素数が1個の場合は、
100≠1+2+4+8+16+32 だから、
2^0 のものはないから、、、2^6=64個ですべて
でいいのかな・・・？
（訂正）^^; Orz...
wiki を下の方まで読んでたら,,,F5 は合成数だって（オイラーさんが証明してる!）^^;;
また別のサイトでも,,,
「いまのところ，フェルマー数 Ｆn＝２^(2^n)＋１ では，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．」 (http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/232_fermat.htm より Orz〜)
とのことのようですから...
2^5=32 個となるわけですね・・・？
・ひよこさんからのコメ Orz〜
どうやら、フェルマ数F_n=2^(2^n)+1が素数となるような 非負整数nは 5≦n≦32の範囲には存在しないらしいです。 ということは、とくに次がいえるとおもいます。
5≦m＜2^33(=8589934592) を満たす任意整数mに対して、
φ(n) = 2^m を満たす整数nの個数はちょうど32である。
フェルマ素数はF_0, F_1, F_2, F_3, F_4のほかに存在しないという予想が正しいとすれば、
当然、5以上の全ての整数rに対して、 φ(n)=2^r を満たす整数nの個数はちょうど32となるわけですね。 もちろん、逆もいえるでしょう。
φ(n)が2の巾であるということは初等幾何学的に何を表しているかというと、 それは良く知られているように、 正n角形が（定木とコンパスだけで）作図可能であることの必要十分条件です。
さて、φ(n)=k のときの nの求め方ですが、 これは一般にかなり面倒だと思われます。
k=12の場合で、demonstration（実演）してみます。
ここでは式だけでやらせてもらいます。 記号の扱い方もかなりテケトーですので注意してくださいｗ
（たとえば、⇒もほぼ数学記号として使っていないです。 左から右がわかるみたいなテケトーな使い方ですｗ）
v_2(12)=2, ω(n)=1,2
ω(n)=2 ⇒ v_2(n)=0, 1
(p-1)p^(a-1)*(q-1)q^(b-1) = 12 （p＞q)
{(p-1)/2}*p^(a-1)*{(q-1)/2}*q^(b-1) = 3
(p-1)/2 = 3 ⇔ p=7
(q-1)/2 = 1 ⇔ q=3
p^(a-1)*q^(b-1) =1
a=b=1
n=3*7, 2*3*7
ω(n)=1, v_2(n)=0, 1
(p-1)p^(a-1)=12
{(p-1)/4}*p^(a-1)=3
・(p-1)/4=3 ⇒ p=13, a=1 ⇒ n=13, 26
・(p-1)/4=1 ⇒ p=5, a≧2 ⇒ p|3 ⇒ contradiction
ω(n)=1, v_2(n)=2
2^1*(p-1)p^(a-1)=12
{(p-1)/2}*p^(a-1)=3
・(p-1)/2=1 ⇒ p=3, a=2 ⇒ n=2^2*3^2
・(p-1)/2=3 ⇒ p=7, a=1 ⇒ n=2^2*7
n=13, 21, 26, 28, 36, 42
熟読玩味〜〜〜^^; Orz〜
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