アットランダム≒ブリコラージュ

2652：2点間の距離が無理数で面積が有理数の△

問題2652（友人問）

3以上の整数nを勝手に与える。
このとき、平面上に次の条件を満たすようなn個の点が存在することを示せ。
“任意の2点間の距離が無理数で、どの3点も必ず3角形を作り 、その面積が有理数である。“










































解答

・わたしの

a^2+b^2=c^2 は、有限個であるから、
点(a,b),(a',b') が a≠a', b≠b' である格子点は無限に取れるのでありうる。
ではいい加減すぎる？

・友人からのもの

放物線y=x^2上のn個の格子点の集合Gが条件を満たす。
A(a,a^2)、B(b,b^2)とすると
AB=|b-a|√{1+(b+a)^2}　であり
√(1+m^2)は無理数であるから
任意の2点間の距離は無理数である
3点ABCの面積は
S=(c-a)^3/6+(b-a)^3/6+(c-b)^3/6
で有理数になる
よって題意は示された。

S って、、、いろんな形で表わされるんだ...^^;

ロッシ(Rossi)

ここのケーキは美味い！！のを思い出してしまったもので、、、^^
帰りによった・・・チーズケーキもまだ残ってた♪ ラッキー！！
前来たときは売り切れてたので...たしかその時はまったりプリンで我慢したんだったっけ...
それがまたおいしいんだけどね ^^v
それを帰宅して即パクリと食べて今はこのアップしてる物はこの世にはない...^^
ま、今頃は姿形を変えてわたしの小腸の途中には存在してるはずだけどね...^^; Orz...
☆☆☆

画像：ロッシ洋菓子店
http://blog.livedoor.jp/yorishima/archives/64991521.html　より Orz〜
浅口市鴨方町鴨方1671-1
0865-44-2123

とんぺい

井原からの帰り3時半前くらいになろうとしてて、、、すでに腹は空き空き状態 ^^;;
さすがにいつも駐車場が一杯のこのお店もこの時間は停められた♪
さっそくネギラーメン＆ギョウザオーダー〜〜！
美味い・・・ネギが柔らかくってスープも濃からず甘からず♪
店の外では大きな茶褐色の猫が眠そうに横たわってる・・・わたしも眠い...^^;
腹八分目に押さえて押さえて・・・^^
ここは、普段来るにはちと遠い...☆☆☆

とんぺい
TEL [phone]
住所　笠岡市小平井2215-1
営業時間 11:00?21:00
定休日　木曜日
ホームページ http://www.rakuten.co.jp/tonpei/

平櫛田中記念展 行

天気予報通りの小雨の中出かけました ^^;v
1:30pm〜の記念講演も目当てだったので、、、10:30am過ぎには岡山を出て、、、駐車場を尋ねながら緑一杯の公園の中を進んで行くと...ここは一方で逆走行だって...^^;
でもそのすぐそばだったのでそのまま行っちゃいました...Orz...次からは迷わず行けます〜^^
記念館の隣だったので、少々の雨の中もへっちゃらで走って、、、まずはモーニングコーヒーを隣接の市民会館内の喫茶店で喫茶し、、、ちょうど前の田中館長だったという「森」氏の洋画メモリアル展覧会場をぶらり・・・一枚お気に入りの静物画をパチリ♪ あとで気付いたんだけど、この拡大された絵が会館に飾ってあった！！それと、犬養毅の書『楽学』？(落書きじゃないよね ^^;）のデカイのも雰囲気いいのでパチリ♪
外を通らなきゃ田中館には入れない・・・^^;;
意を決して、ずぶぬれになりながら入館・・・お気に入りの作品を何枚かパチリ...♪ Orz...
自分の長男の何かをねだってる姿のと、一休さんと「転生（てんしょう）」の彫刻がよかったな！！
書も雄渾なのも柔らかいのもすてきだったのでパチリ...Orz...
「いまやらねば・・・」ってフレーズは有名だけど、彼が97歳のときのもの...そりゃそうだよね！もうあとはないって思いは強いに決まってるんだもの ^^;v
そんな書を載せたカレンダー＆お気に入りの彫刻の絵はがきをゲット♪
外に出るとすでに雨はほぼ上がってる・・・今度はさっき濡れそぼった同じコースを逆に戻って無事講演会場に ^^
東京芸大の准教授 古田亮 先生の話を興味津々で聴こうと前の方の席を陣取る・・・
なかなか恰幅もカッコもイカス方です♪ 聴講者は女性陣が（やや年輩が多いけど ^^）多いんですねえ・・・会場は満員御礼に近い！約1ヶ月前から記念展（田中没後40年、田中館開設30周年）が開催されており、昨日までに3000人の入場があったって・・・3000人目の方は岡山市から来られた方で記念品が出たらしい・・・この手のキリ番には縁が無いわたし...^^; どうなんだろ、、、井原ってアクセス悪いけど、、、それを勘案したらば、、、来訪者の数って結構なものなんだろか・・・？
で、、、芸術家の話ってどんなんだろって興味で行ったわけですが...最初の方は退屈で...^^; スライドだから暗いはプロジェクターの音が心地いいわで睡魔に襲われる...^^; しかし、前の席で眠るのは演者に失礼この上ないからなあ・・・必死で刮目に努めましたよ...^^
90分の最期の15分くらいからの話は佳境に入ったのかおもしろかったけどね♪
田中氏の作品は彩色が途中からなされるようになったようなんだけど、彼自身がしたんじゃなくって日本画のプロに頼んだらしい・・・備前焼の好きなわたしには、、、木目調そのまんまの作品が好みだな・・・しかも、写実っていうなら、、、彼の想像してる頭の中じゃ、おそらく色まではなかったんじゃないのかなあって・・・だったら、、、彩色しちゃったら、、、彼の頭の素のものを写実することに反しちゃう・・・なんて思ったり...^^;
古田准教授は１．迫真性 ２．品格 ３．反時代性・同時代性・超時代性　ってな視点で解説されてた・・・^^ その辺りの話をもっと深く掘り下げて聴きたかったわたし・・・
芸術家は何を描くのか？ 何を描く自由もあると思うけど、田中は何を描きたかったのか？ 何十年も経って同じ作品を彫り直したりしたのは、彼がこだわってるものがあったからに他ならないはず...それは何だったのか？ダ・ビンチが死ぬまで手元に置いていた3つの作品があり、どれだったっけ？最期までそれに手を加え続けてた絵があったはずだけど...それに近い思いがあったんじゃないんだろうか・・・？ ガウスも、なんだったっけ？同じ定理の証明を生涯にいくつもいくつも考えてる...♪
自分にとっていちばん気になる・美しいと思えるもののより完成された姿を求め続けてるんじゃないのかな・・・？そういうものに限って、、、最終形は見出せないんだ・・・
だからこそ,,,求め続けるモチベーションが維持される...んだろうかなあ・・・
なんてことを思いながら会場をあとにしました・・・^^

「転生」と可愛いこどもの姿の彫刻が同じ田中という人から産まれたなんて・・・
人間の心の振幅は潜在的にものごっついんだと改めて思えましたね ^^ ♪

2651：整数（いずれの2数の和も残りで割ると1余る）

問題2651・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/17082524.html　より Orz〜

相異なる自然数a, b, cがあり,
どの2つの和も残りの数で割ると1余るとする.
a＜b＜c として次の問に答えなさい.

(1) a+b を c で割ったときの商はいくらか.
(2) a+c を b で割ったときの商はいくらか.
(3) a, b, c を求めなさい.












































解答

・わたしの

(1)
a<b<c
1>=1/a>1/b>1/c>0
0<a/c+b/c<2
つまり、1

(2)
a+b=c+1
a/b+1=c/b+1/b
0<a/b+c/b=2(a/b)+1-1/b<3
つまり、1 か 2
a+c=b+1
a+b=c+1 のときは、
c-b=b-c・・・b=c で矛盾
よって、
a+c=2b+1
つまり、2

(3)
a+b=c+1
a+c=2b+1
c-b=2b-c
2c=3b・・・b=2m,c=3m
a+2m=3m+1
a=m+1
b+c=5m=ak+1
a=(5m-1)/k=m+1
5m-1=(m+1)k
k=(5m-1)/(m+1)
=5-6/(m+1)
m=1,2,5
a=2,3,6
b=2,4,10
c=3,6,15
よって、
(a,b,c)=(3,4,6), (6,10,15)

上記サイトより

(1) a<bとb<cを辺辺足して、a+b<2c
両辺cで割って (a+b)/c＜2
dを商として、a+b=dc+1とおけるから（dは自然数)、(dc+1)/c＜２
d+(1/c)＜2
d＜2-(1/c) c>0のときこれを満たす自然数dはd=1しかない。よってa+bをcで割った商dは1…答

(2)(1)からa+b=c+1 c=a+b-1これを用いて文字cを消去する。
『a+cはbで割ると1余り、b+cはaで割ると１余る』
→『a+c-1はbで割り切れ、b+c-1はaで割り切れる』
→『2a+b-2はbで割り切れ、a+2b-2はaで割り切れる』
いま、2a+b-2=eb…（あ） (eは自然数)とおく。(2a+b-2)/b=e
ここでe≧３と仮定すると、 (2a+b-2)/b≧3
2a+b-2≧3b
2a-2b-2≧0
ところが、a-b<0より上の式左辺は常に0未満であるから矛盾である。よってe=1or2である。
e=1のとき（あ）より 2a-2=0 ∴a=1, ところがc=a+b-1であったからこれにa=1を代入するとc=bとなりb<cに反する。以上からe=2に限られるから、a+cをbで割った商eは２である…答

(3) a+b=c+1 かつ a+c=2b+1 から c=3b/2 かつ a=(b+2)/2
cとaは自然数でなくてはならないので,bは偶数である。
いま、b+c-1がaで割り切れる→b+3b/2-1が(b+2)/2で割り切れる→（5b-2)/2は(b+2)/2で割り切れる→(5b-2)/(b+2)は整数→5-12/(b+2)は整数→b+2=±1,±2,±3,±4,±6,±12
このうちbが正の偶数になるものはb=2,4,10 このとき (a,c)=(2,3),(3,6),(6,15)最初の組はa=b=2となりa<bを満たさないので不適
∴(a,b,c)=(3,4,6),(6,10,15)…答

・草木の精霊さんのもの Orz〜

a,b,c の最大公約数をG,最小公倍数Lとします。
a+b+c は a,b,c のどれで割っても1余るから、a+b+c=kL+1 と表わせます。
a/L+b/L+c/L=k+1/L>1 で、c/L,b/L,a/L は異なる単位分数なので、
k=1 で、1/2,1/3,1/4 または、1/2,1/3,1/5 ですネ!!
よって、c:b:a=1/2:1/3:1/4=6:4:3 または c:b:a=1/2:1/3:1/5=15:10:6
また、a+b+c=kL+1 で、a,b,c,L はGの倍数だから G=1

なるほど！華麗だ♪Good Job ♪