アットランダム≒ブリコラージュ

2607：4個の立方数

問題2607・・・Sta'さんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/sta_vanilla/55317692.html　よりOrz〜

自然数をいくつかの立方数の和として表すとき、少なくとも４個の立方数が必要となる自然数が無限に存在することを示せ。














































解答

上記サイトより Orz〜

一般に、t を整数とすると t^3 ≡ 0, ±1 (mod 9) なんです。
（どの整数の３乗も９の倍数か、９で割れば１か８余る）
そうなると 9k±4 っていう形の数は、どうしても最低４個の立方数がなければ表せないのです。
（じゃあ n ≠ 9k±4 であれば必ず３個以下の立方数の和で表せるか否かって問題は未解決）
これは Waring の問題で G(3) の下限を与える結果になります。
同様に t^2 ≡ 0, 1, 4 (mod 8) なので、自然数をいくつかの平方数の和として表すとき、8k + 7 のような数はどうしても４個要ることが分かります。
8k + 7 の形の数は無限に存在するので、このことだけで G(2)≧4 が示されます。
４乗数に関しても同様に考えて、G(4) の下限を与えることができます。
もうチョイ丁寧に書いときまするー♪
平方数を８で割ったときの剰余は 0,1,4 だけなので、２つの平方数の和では、この剰余を組み合わせて
s^2 + t^2 ≡ 0,1,2,4,5 ( mod 8 ) となり、
s^2 + t^2 + u^2 ≡ 0,1,2,3,4,5,6 ( mod 8 ) となります。
即ち、平方数３個の和を作った場合でも剰余７となる場合が含まれておらず、
結局これは平方数４個の和でなければ表せないってことなんですよねー♪

う〜ん...熟読玩味...

2606：周長一定の面積最大の扇型

問題2606・・・Staさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/sta_vanilla/55317692.html より Orz〜

長さ a の線分で扇形を作るとき、面積が最大になるような中心角 θ と、そのときの面積を求めよ。


























































解答

既出問かも...^^;

・わたしの

a=x+2y
xy/2 の最大値を求めればいいので、、、
xy=x(a-x)/2 から、x=a/2,y=r=a/4 のとき最大の面積＝a^2/16
θはこのとき、、、(a/2)/2π(a/4)=1/π
つまり、2π*(1/π)=2 ラジアンのとき♪

2605：△：底辺と頂角が一定のときの残りの2辺の和の最大値

問題2605・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/15442194.html　より Orz〜

平面上において, A, Bを2定点とする. 点Pが∠APB=α（一定）となるように動くとき,
AP+BPの最大値をαと線分ABの長さmとを用いて表せ.























































解答

以前同じような問題が出てたかも知れないけど...その時はそれが最大である根拠が十分説明できなかった...^^;
今回は出来た気がする...^^
いずれまた ^^v

・わたしの

円周角になるから、弦ABの垂直二等分線との交点をＰとすると、AP+BP が等しい点Ｐの軌跡は楕円となり、元の円の外側になるので、つまりは、円周上の他の点ではAP+BPより小さくなる。
よって、2AP*sin(α/2)=m から、AP+BP=2AP=m/sin(α/2)　♪

・友人のもの Orz〜

題意よりPはABを弦とする円周上の点である。

ABの垂直二等分線が円周とP側で交わる点をQ
反対側をRとすると、トレミーの定理より
PA*BR+PB*AR=PR*AB
よってPA+PBを最大にするのはPRが最大のとき・・・*つまり直径ということですね♪
でPがQのときで
∠AQR=α/2だから2QA=m/sin(α/2)

賢いなあ・・・^^
わたしゃトレミーの定理なんて言葉しか知らなかった...^^;

・鯨鯢(Keigei)さんのもの Orz〜

APの延長上にPB=PQとなるように点Qをとれば、AP+BP=AQ で、点Qは∠AQB=α/2（一定）となるように動く。

素晴らしい♪
つまり、、、AQが直径の時なので、、、AQsin(α/2)=AB=m
なのですね ^^♪