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問題2746・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org/ より Orz〜
Ａ、Ｂ、Ｃの３つの整数があります。これらについて、以下のことが分かっています。
・ＡとＢの最小公倍数は ７２
・ＢとＣの最小公倍数は１４４
・ＣとＡの最小公倍数は１４４
このとき、（Ａ、Ｂ、Ｃ）の組は何通り考えられるでしょうか。ただし、３つの整数の順番を入れ替えたものについても別々に数えるものとします。（※）
※・・・例えば、「Ａ＝７２、Ｂ＝７２、Ｃ＝１４４」と、「Ａ＝１４４、Ｂ＝７２、Ｃ＝７２」は、別々に数える、ということです。
解答
これ問題の問い方がおかしいと思うな...(A,B,C) を入れ替えたものは別と考えるって書いてあるんだもの...^^;?
・わたしの
○は2^3, 3^2 は来ないとして場合わけ・・・
2^3-3^2
○-○ ・・・2*3*2*2
2^3-3^2
2^3-○ ・・・2*2
これらは、、、2^4-3^2 しか C に来ないので、、、2*3*2*2+2*2=28
2^3-3^2
○-3^2・・・2*3
これらは、、、2^4-3^(0〜2) が来れるので、、、2*3*3=18
2^3-3^2
2^3-3^2・・・1
これらも、2^4-3^(0〜2) が来れるので、、、1*3=3
合計=28+18+3=49 通り
でいいんですよね...^^
・まるケンさんのもの Orz〜
因数２と３に分けて、最低必要な個数を考えました。
３に関しては、「９、９、９」、「９、９、３」、「９、９、１」の３通り、順序を考えると、７通り。
２の方は、Ｃの１６は固定で、あとＡとＢが「１、８」「２、８」「４、８」「８、８」。順序を考えると、こちらも７通り。 かけて４９としました。
・むらいさんのもの Orz〜
Ａ・Ｂ・Ｃとも ２と３を因数に持ちますので 題意より Ｃの２の指数は明らかに４
あとは２の指数と３の指数の組み合わせを考えました。
２の指数は
（Ａ，Ｂ）＝（３，０）（３，１）（３，２）（３，３）（０，３）（１，３）（２，３）の７通り
３の指数は
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（２，０，２）（２，１，２）（２，２，０）（２，２，１）
（２，２，２）（０，２，２）（１，２，２） の７通り
よって７×７＝４９通り。
・uchinyanさんのもの Orz〜
まず，72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3，144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 に注意すると，少なくとも，
A = (2 の積：個数は 0 〜 3 が可能) * (3 の積：個数は 0 〜 2 が可能)
B = (2 の積：個数は 0 〜 3 が可能) * (3 の積：個数は 0 〜 2 が可能)
C = (2 の積：個数は 0 〜 4 が可能) * (3 の積：個数は 0 〜 2 が可能)
ですが，「A と B の最小公倍数が 72」ということから，
A の 2 の積 又は B の 2 の積 のどちらかは 2 * 2 * 2，A の 3 の積 又は B の 3 の積 のどちらかは 3 * 3
でなければなりません。
ここで，2 の積 に関しては，
「A，B と C との最小公倍数が 144」なので，C の 2 の積 は 2 * 2 * 2 * 2 でなければならず，
このとき，A の 2 の積 と B の 2 の積 は，4 + 4 - 1 = 7 通り 可能です。
また，3 の積 に関しては，
A の 3 の積 と B の 3 の積 の両方とも 3 * 3 のとき，C の 3 の積 は 1，3，3 * 3 の 3 通り，全体で 1 * 3 = 3 通り が可能
A の 3 の積 が 3 * 3 で B の 3 の積 がそうでないとき，C の 3 の積 は 3 * 3 だけ，全体で 2 * 1 = 2 通り が可能
B の 3 の積 が 3 * 3 で A の 3 の積 がそうでないとき，C の 3 の積 は 3 * 3 だけ，全体で 2 * 1 = 2 通り が可能
で，結局，3 の積 に関しては 3 + 2 + 2 = 7 通り が可能です。
そこで，2 の積 の可能な場合の数と 3 の積 の可能な場合の数とを掛けて，7 * 7 = 49 通り になります。
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