アットランダム≒ブリコラージュ

2748：べき乗数の和(Σk^7+Σk^5)

問題2748 (友人鯨鯢(keigei)さん提示問) Orz〜

(1^7+2^7+3^7+……+n^7)+(1^5+2^5+3^5+……+n^5)＝？














































































解答

・友人鯨鯢(keigei)さんのもの Orz〜

S(m)=1^m+2^m+…+n^m とすると、
x^2*(x+1)^2-(x-1)^2*x^2=4*x^3 ⇒ n^2*(n+1)^2=4*S(3)
x^3*(x+1)^3-(x-1)^3*x^3=6*x^5+2*x^3 ⇒ n^3*(n+1)^3=6*S(5)+2*S(3)
x^4*(x+1)^4-(x-1)^4*x^4=8*x^7+8*x^5 ⇒ n^4*(n+1)^4=8*S(7)+8*S(5)
x^5*(x+1)^5-(x-1)^5*x^5=10*x^9+20*x^7+2*x^5 ⇒ n^5*(n+1)^5=10*S(9)+20*S(7)+2*S(5)
………

xの整式を微分して簡単にすると、
x*(x+1)*(2x+1)-(x-1)*x*(2x-1)=6*x^2 ⇒ n*(n+1)*(2n+1)=6*S(2)
x^2*(x+1)^2*(2x+1)-(x-1)^2*x^2*(2x-1)=10*x^4+2*x^2 ⇒ n^2*(n+1)^2*(2n+1)=10*S(4)+2*S(2)
x^3*(x+1)^3*(2x+1)-(x-1)^3*x^3*(2x-1)=14*x^6+10*x^4 ⇒ n^3*(n+1)^3*(2n+1)=14*S(6)+10*S(4)
x^4*(x+1)^4*(2x+1)-(x-1)^4*x^4*(2x-1)=18*x^8+28*x^6+2*x^4 ⇒ n^4*(n+1)^4*(2n+1)=18*S(8)+28*S(6)+2*S(4)
………

美しい関係式ですね♪
オイラーさんみたいだね ^^w

2747：[x^2/20]

問題2747（友人問）ひさびさ ^^

xが1から2002までの整数値をとるとき
f(x)=[x^2/20]は何通りの値をとりえますか。





































































解答

以前同じ問題がありましたね...^^; Orz...

・わたしの

(10x+y)^2=100x^2+20xy+y^2
[1^2/20]〜[4^2/20]=0
[5^2/20]〜[6^2/20]=1
[7^2/20]=2
[8^2/20]=3
[9^2/20]=4
つまり、、、
[2002/10]=200
(200+1)*5=1005 通り♪

↑
間違ってますね...^^; Orz...
下のコメ欄参照〜^^;