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問題2760（畏友Kさん提示問）Orz〜
△ABCで BC=3, CA=4, AB=5 のとき、∠C=90°。
△ABCで BC=4, CA=5, AB=6 のときは、、、∠Cの二等分線とABの交点をDとでもすれば、△BAC∽△BCDになっていることから、、、C=2A になるんですが、、、
ここで、問題です。
BC=a, CA=b, AB=c(a,b,cは自然数)である△ABCで、
次の条件を満たす例をあげなさい。
(1) ∠A：∠C＝1：2
(2) ∠A：∠C＝1：3
(3) ∠A：∠C＝1：4
(4) ∠A：∠C＝2：3
(5) ∠C＝120°
(6) ∠C＝60°
* 「このような３辺の長さが整数で、角が１２０°である三角形を「アイゼンスタインの三角形」と呼ぶ。「整数とあそぼう」（日本評論社、一松信著）注：アイゼンスタイン（1823〜1852）はドイツの天才数学者です。」http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai4/kadai215a.htm より Orz〜
画像：ヤマルリソウ
http://wind.ap.teacup.com/kaobana/246.html より Orz〜
解答
・鯨鯢(keigei)さんのもの Orz〜
１.
BC=x, CA=y, AB=z として、x(x+y)=z^2 なのですね。
[x<y<zは必要ありません]
ここで、x,(x+y)の最大公約数をgとすると、互いに素なm,nを使って、
x+y＝n^2*g, x＝m^2*g, z＝mng と表され、y＝(n^2-m^2)g。
簡単な整数比は、x＝m^2, y＝n^2-m^2, z＝mn (m,nは互いに素)
三角形ができる条件として、m＜n＜2m
具体例としては、
m＝2, n＝3 のとき、x＝4, y＝5, z＝6
m＝3, n＝4 のとき、x＝9, y＝7, z＝12
m＝3, n＝5 のとき、x＝9, y＝16, z＝15
m＝4, n＝5 のとき、x＝16, y＝9, z＝20
m＝4, n＝7 のとき、x＝16, y＝33, z＝28
m＝5, n＝6 のとき、x＝25, y＝11, z＝30
m＝5, n＝7 のとき、x＝25, y＝24, z＝35
m＝5, n＝8 のとき、x＝25, y＝39, z＝40
m＝5, n＝9 のとき、x＝25, y＝56, z＝45
別解を示しておきます。
正弦定理より、
BC：CA：AB
＝sinA：sinB：sinC
＝sinA：sin(A+C)：sinC
＝sinA：sin3A：sin2A
＝sinA：{3sinA-4(sinA)^3}：2sinAcosA
＝1：{3-4(sinA)^2}：2cosA
＝1：{4(cosA)^2-1}：2cosA
ここで、2cosA＝n/m とおけば、
BC：CA：AB
＝1：(n^2/m^2-1)：n/m
＝m^2：(n^2-m^2)：mn
1〜4.
★正弦定理を使った解き方★
sin(n+1)θ+sin(n-1)θ＝2sin(nθ)cosθより、
2cosθ＝t(-2≦t≦2)とすれば、
sin(n+1)θ＝t*sin(nθ)-sin(n-1)θ
f(n,t)＝sin(nθ)/sinθとおくと、
漸化式 f(n+1,t)＝t*f(n,t)-f(n-1,t) を得る。
f(0,t)＝0, f(1,t)＝1 だから、
f(2,t)＝t*f(1,t)-f(0,t)＝t
f(3,t)＝t*f(2,t)-f(1,t)＝t^2-1
f(4,t)＝t*f(3,t)-f(2,t)＝t^3-2t
f(5,t)＝t*f(4,t)-f(3,t)＝t^4-3・t^2+1
………………
a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝sinA：sin(A+C)：sinC だから、
C＝2A のとき、
a：b：c＝sinA：sin3A：sin2A＝f(1,t)：f(3,t)：f(2,t)
a：b：c＝1：(t^2-1)：t
t＝3/2 とすれば、a：b：c＝1：5/4：3/2＝4：5：6
t＝4/3 とすれば、a：b：c＝1：7/9：4/3＝9：7：12
t＝5/3 とすれば、a：b：c＝1：16/9：5/3＝9：16：15
t＝5/4 とすれば、a：b：c＝1：9/16：5/4＝16：9：20
t＝7/4 とすれば、a：b：c＝1：33/16：7/4＝16：33：28
………………
同様に、
☆C＝3A のとき、a：b：c＝f(1,t)：f(4,t)：f(3,t)
── 最も簡単な例は a：b：c＝8：3：10 [t=3/2]
★以下は数も大きく、殆どビョーキですが……
☆C＝4A のとき、a：b：c＝f(1,t)：f(5,t)：f(4,t)
── 最も簡単な例は a：b：c＝81：31：105 [t=5/3]
☆2C＝3A のとき、a：b：c＝f(2,t)：f(5,t)：f(3,t)
── 最も簡単な例は a：b：c＝135：31：144 [t=5/3]
── 美しい例は a：b：c＝1125：1111：1400 [t=9/5]
など、様々な角の比の三角形が求められます。
なお、f(n,t)を使うとき、t＝2cosθ,nθ＜πだから、
使えるtは、2cos(π/n)＜t＜2 の範囲です。
５.
ａ^2＋ｂ^2＋ａｂ＝ｃ^2 より、ａ(ａ＋ｂ)＝(ｃ＋ｂ)(ｃ−ｂ) だから、
ｃ＋ｂ＝ａｔ とおくと、ｔ＞1で、ａ＋ｂ＝(ｃ−ｂ)ｔ
ｃｔ＋ｂｔ＝ａｔ^2 と ｃｔ−ｂｔ＝ａ＋ｂ から、2ｂｔ＝ａｔ^2−ａ−ｂ
よって、ｂ(2ｔ＋1)＝ａ(ｔ^2−1) また、ｃ＋ｂ＝ａｔ より、
ｃ(2ｔ＋1)＝ａｔ(2ｔ＋1)−ｂ(2ｔ＋1) ＝ａｔ(2ｔ＋1)−ａ(ｔ^2−1)＝ａ(ｔ^2＋ｔ＋1)
ａ：ｂ：ｃ＝ａ(2ｔ＋1)：ｂ(2ｔ＋1)：ｃ(2ｔ＋1)＝ａ(2ｔ＋1)：ａ(ｔ^2−1)：ａ(ｔ^2＋ｔ＋1)
＝(2ｔ＋1)：(ｔ^2−1)：(ｔ^2＋ｔ＋1)
ここで、ｔ＞1 だから、ｔ−1＝ｍ/ｎ(既約分数) と表すと、ｎｔ＝ｍ＋ｎ
ａ：ｂ：ｃ＝ｎ^2(2ｔ＋1)：ｎ^2 (ｔ^2−1)：ｎ^2 (ｔ^2＋ｔ＋1)
ａ：ｂ：ｃ＝ｎ(2ｍ＋3ｎ)：ｍ(ｍ＋2ｎ)：(ｍ^2＋3ｍｎ＋3ｎ^2) です。
この式で、ｍが３の倍数のとき、ｍ＝3ｋ とすると、
ａ：ｂ：ｃ＝ｎ(6ｋ＋3ｎ)：3ｋ(3ｋ＋2ｎ)：(9ｋ^2＋9ｋｎ＋3ｎ^2)
＝ｎ(ｎ＋2ｋ)：ｋ(2ｎ＋3ｋ)：(ｎ^2＋3ｎｋ＋3ｋ^2)
で、ａとｂが逆になるだけで、ａ:ｂ:ｃの新たな比は出ません。
また、ｍ,ｎに1以外の公約数をもつときもａ:ｂ:ｃの新たな比は出ません。
「ｍは３の倍数以外で、ｍ,ｎには互いに素」としてもかまいません。
* uchinyanさんのもの Orz〜
∠C = 120°の問題ですが，この間のを参考に，ちょっと異常ですが，
a^2 + ab + b^2 = c^2
12a^2 + 12ab + 12b^2 = 12c^2
9a^2 + 4a^2 + 16b^2 + 4c^2 + 16ab + 16bc + 8ca = a^2 + 4b^2 + 16c^2 + 4ab + 16bc + 8ca
(3a)^2 + (2a + 4b + 2c)^2 = (a + 2b + 4c)^2
これはピタゴラス数！ ただし，
3a = 3k(m^2 - n^2)
2a + 4b + 2c = 6kmn
a + 2b + 4c = 3k(m^2 + n^2)
これから，
a = k(m^2 - n^2)
b = k(2mn - m^2)
c = k(m^2 - mn + n^2)
ただし，m, n は互に素で，2n > m > n
*鯨鯢(keigei)さんからのコメ Orz〜
n(2m+3n)→(m-n){2(2n-m)+3(m-n)}=(m-n)(m+n)
m(m+2n)→(2n-m){(2n-m)+2(m-n)}=(2n-m)m
m^2+3mn+3n^2→(2n-m)^2+3(2n-m)(m-n)+3(m-n)^2= m^2-mn+n^2
で...等価になるようですね ^^;v (わたしゃよくわかってない...Orz...)
６.
60°の所で正三角形を切り取ると、120°が現れますから。
a：b：c で∠C＝120°のとき、
(a+b)：b：c または a：(a+b)：c で∠C＝60°です。
すごい思考力で・・・ただ頭が下がります m(_ _)mv＆♪
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