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問題2989・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/1407201.html より Orz〜
f(x)＝x^2−8x＋c (cは定数) として、
４次方程式 f(f(x))＝x が２つの実数解と２つの虚数解をもつとき、自然数c＝？
画像：http://pics.livedoor.com/u/ppdwy632/photos より Orz〜
解答
上記サイトより Orz〜
[解答1]
f(f(x))＝x より (x^2−8x＋c)^2−8(x^2−8x＋c)＋c＝x、
f(x)＝x、すなわち x^2−9x＋c＝0 を満たすxは 解になるから、
f(f(x))−x は x^2−9x＋c を因数にもつ。
(x^2−9x＋c)(x^2−7x＋c−7)＝0 と式変形できて、
x^2−9x＋c＝0, x^2−7x＋c−7＝0 の判別式は、81−4c, 77−4c 。
77−4c＜81−4c だから、77−4c＜0≦81−4c
よって、77＜4c≦81。cは自然数だから、c＝20。
重解を２つの実数解とみなしましたが、
１つの実数解と扱っても≦の＝がつかないだけですので同じ答になります。
[解答2]
f(x)＝y とおくと、f(y)＝x
x^2−8x＋c＝y, y^2−8y＋c＝x
辺々引いて、(x＋y)(x−y)−8(x−y)＝y−x
(x−y)(x＋y−7)＝0
よって、y＝x または y＝7−x
x^2−8x＋c＝x または x^2−8x＋c＝7−x
以下は[解答1]と同様です。
なるほど...巧い同値変形ですね♪
ちなみに...
・わたしの
x^2-8x+c=Z
f(f(x))=f(Z)=Z^2-8Z+c=x
(Z-4)^2=x-c+16
Z-4=x^2-8x+c-4=(x-4)^2+c-20
x=4 のとき、
(c-20)^2=20-c になればよい。
(c-20)(c-21)=0
c=20 のみ満たす。
逆関数の方法・・・
x=y^2-8y+c
=(y-4)^2+c-16
x+16-c=(y-4)^2
(y-4)^2は、y=(x-4)^2 を時計方向に90度回転したものなので...
(0,±4) と (-4,0) を通り、y=x+16-c が、(-4,0)と(0,4) を通る直線より下なら実根と虚根を持つ。
つまり...y切片=(16-c)<=4→c>=20 ならよい？
どこかがおかしい解法なんだ...^^;
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