アットランダム≒ブリコラージュ

2898：1/x^5+1/y^5+1/z^5

問題2898・・・みっちの隠れ家 http://micci.sansu.org/　より Orz〜























































解答

ライブ問にてまたいずれ ^^
やっと気付けた...♪

2897：条件付き最小値

問題2897・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/592228.html　より Orz〜

4x＋y＋z＝12 のとき x^2＋y^2＋z^2 の最小値は？


























































解答

・わたしの

4x+y+z=12
(4,1,1)(x,y,z)=12=√(4^2+1+1)√(x^2+y^2+z^2)cosθ
cosθ=1 のときが最小値...
√(x^2+y^2+z^2)=12/√18=2√2
よって...
Min(x^2+y^2+z^2)=8

上記サイトより Orz〜

[解答1] 計算力
4x＋y＋z＝12 より、z＝12−4x−y
x^2＋y^2＋z^2＝x^2＋y^2＋(12−4x−y)^2
＝2y^2＋8xy＋17x^2−24y−96x＋144
＝2(y＋2x−6)^2＋(3x−8)^2＋8
よって、y＋2x−6＝0, 3x−8＝0 のとき最小値８。
このとき、x＝8/3, y＝2/3, z＝2/3。

[解答2] 点と平面の距離
x^2＋y^2＋z^2は、２点(0,0,0),(x,y,z)の距離の２乗。
一方、点(0,0,0)と平面4x＋y＋z＝12の距離は
ヘッセの公式により 2√2。
よって、x^2＋y^2＋z^2の最小値は、(2√2)^2＝８。
このとき、(0,0,0)から(x,y,z)へのベクトル(x,y,z)は、
平面4x＋y＋z＝12の法線ベクトルだから、
(x,y,z)＝t(4,1,1)と表され、4x＋y＋z＝1より t＝2/3。

[解答3] コーシー・シュワルツの不等式
２つのベクトル(4,1,1),(x,y,z)のなす角をθとすると、
(4,1,1)・(x,y,z)＝|(4,1,1)||(x,y,z)|cosθ
{(4,1,1)・(x,y,z)}^2＝|(4,1,1)|^2|(x,y,z)|^2*(cosθ)^2
|(4,1,1)|^2|(x,y,z)|^2≧{(4,1,1)・(x,y,z)}^2＝(4x＋y＋z)^2
18(x^2＋y^2＋z^2)≧12^2
x^2＋y^2＋z^2≧8
等号が成り立つのは(cosθ)^2＝1, すなわち、(4,1,1)//(x,y,z)のときで、
(x,y,z)＝t(4,1,1)と表され、4x＋y＋z＝1より t＝2/3。

[解答4] コーシー・シュワルツの不等式の別解
すべての実数ｔについて、
(4t−x)^2＝16t^2−8xt＋x^2≧0
(t−y)^2＝t^2−2yt＋y^2≧0
(t−z)^2＝t^2−2zt＋z^2≧0
加えて、18t^2−2(4x＋y＋z)t＋(x^2＋y^2＋z^2)≧0
判別式は、(4x＋y＋z)^2−18(x^2＋y^2＋z^2)≦0
18(x^2＋y^2＋z^2)≧12^2
x^2＋y^2＋z^2≧8
等号が成り立つのは、x＝4t, y＝t, z＝t のときで、
4x＋y＋z＝1より t＝2/3。

なるほど・・・勉強になります...Orz〜v

2852'：船旅の逢瀬 解答

問題2852（ http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/41661984.html）の解答です ^^v
http://www.geocities.jp/hagure874/　より Orz〜

・わたしの

54/(36+24)=0.9
6時-0.9*60分＝5時06分発
54/24=2.25時間
2時間15分+25分＋5時06分＝7時46分
54/36=1.5時間
1時間30分＋25分＋5時06分＝7時01分
(46-1)/60*24=18
(54-18)/(36+24)=0.6時間
7時46分＋36分＝8時22分 ♪

2896：△：角の二等分線

問題2896・・・浮浪の館 http://www.geocities.jp/hagure874/　より Orz〜










































解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

2895：２つの直角三角形

問題2895・・・みっちの隠れ家 http://micci.sansu.org/　より Orz〜

図のように直角二等辺三角形ABCと　直角三角形ADCがACを斜辺として
重なっています。AE:EB=２：１のとき　CE：EDは何対何になるでしょうか。

















































解答

ライブ問にてまたいずれ ^^