アットランダム≒ブリコラージュ

2906：1〜n までの2数の積の和の最小値

問題2906・・・某サイト問絡み問 ^^;

1,2,3,・・・,n まであるとき、異なる2数同士の積の和の最小値を求めよ。
ただし、n が奇数の時は、１つの積は k^2 となるものとする。










































































解答

・わたしの

x*y の最小は,,,
x を固定したら y は小さいほど小さい...
つまり...
n*1<n*k
(n-1)*2<(n-1)*k'
・
・
・
(n-m)(n-(n-m+1) が残る...
けっきょく...
両端の積の和が最小・・・でいいのかな・・・？

n=2m のとき、
n*1+(n-1)*2+・・・+(n-m+1)(n-m)
n=2m+1 のとき、
n*1+(n-1)*2+・・・+(n-m)^2

これって...奇麗な式で表わせるんだろうか...？

2905：回転体の体積

問題2905・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/658194.html　より Orz〜

上の図は、縦横1cmの方眼紙に青い三角形を描いたものです。
この三角形を赤い縦線の周りに回転してできる回転体の体積は？




















































































解答

この手は苦手だ...^^;
パップス・ギュルダンを使ってしまった...Orz...

上記サイトより Orz〜

[解法1] 円錐台の体積の公式

円錐の体積は、半径をｒ,高さをｈとすれば、(π/3)r^2h ですが、
円錐台の体積は、半径をａ,ｂ,高さをｈとすれば、(π/3)(a^2＋ab＋b^2)h です。
(π/3)(2^2＋2・3＋3^2)・3＋(π/3)(3^2＋3・1＋1^2)・1−(π/3)(2^2＋2・1＋1^2)・4
＝(π/3)(57＋13−28)＝14πcm^3

* これについていけないわたし...^^;...

[解法2] パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積は、回転させる面の面積×重心の移動距離　で求められる
というのが、パップス・ギュルダンの定理です。
この場合、三角形の面積が 7/2 で、
重心は(中線上にあって)回転軸から 2 離れているから、
(7/2)×(2π・2)＝14πcm^3

パップス・ギュルダンの定理

これ知ってるとなにかと楽なんだけど...その証明を見つけた♪

http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50586907.html　より Orz〜

「パップス・ギュルダンの定理
パップス・ギュルダンの定理とは、以下のようなものです。
--------------------------------------------------------------------

平面上の図形Ｆを考える。Ｆの面積をＳとし、Ｆを通らない軸の周りでＦを回転させた回転体の体積をＶとする。この時、Ｆの重心から軸までの距離をｒとおくと、

Ｖ＝２πｒＳ

が成り立つ。
---------------------------

それでは証明です。

ｘｙ平面上で、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）≧０と、２つの直線ｘ＝ａ、ｘ＝ｂ（ａ、ｂは定数）で囲まれた図形Ｄを考えます（画像）。
この図形をｘ軸の周りで回転させた回転体の体積Ｖは (画像) です。

さて、重心のｙ座標をｇと置くと (画像)
となりますから (画像 ) が示せました。

（☆）の部分ですが、一般にｎ次元図形Ｄの重心は　(画像)

で表されます。これは質点系の重心の定義の自然な拡張になっていますから、受け入れやすいと思います。また、三角形の重心の通常の定義とも合致します。

証明の流れをわかりやすくするため、上ではある曲線と直線に囲まれた図形の回転体についてのみ考えましたが、ｘ軸に交わらない閉曲線で囲まれる図形に関しても同様に証明できます。また、軸の傾きは適切な線形変換を施すことで解決できますから、以上のことを考えると一般のパップス・ギュルダンの定理が証明できたことになります・・・」

重心の求め方・・・見つけた♪
以下のサイト参照願います〜^^v
blogs.yahoo.co.jp/original_zx/ folder/1532295.html　より Orz〜

直感的に理解できました♪^^

2904：今何時？

問題2904・・・http://www.imd-g.com/framepage1.htm　より Orz〜

(二十数年前の灘中の入試問題)
図のように円形の時計があり、長針がピッタリと時計盤のめもりのところを指していて、長針と短針のなす角度が95度になっています。
このとき時計は何時を示しているでしょう。
注：７時55分ではありません。つまり時計は回転させてあります。










































解答

・わたしの

x時y分
6y-(30x+y/2)=95
y=5(x+4)
12y-60x-y=190
11y-60x=190
11*5(x+4)-60x=-5x+220=190
5x=30
x=6
y=50
6時50分


これが算数であっと間に解けるんです・・・♪
以下に・・・↓
























上記サイトより Orz〜

めもり３つで90度ですから、短針が５度進めばピッタリめもりのところを指すことになります。短針は１時間で30度進みます(360÷12=30)ので５度はその６分の１、つまり10分にあたります。従って、あと10分経てば長針は12のめもりのところにきますので時計をどうみたらよいかがわかります。

なるほど...鮮やか!!
つまり...その時長針と短針の間隔は...5めもり開いてるので...7時
その10分前だから...6時50分
逆転の発想 !!
お気に入り♪♪

2903：4個の7で 1〜10を作る

問題2903・・・http://www.imd-g.com/framepage1.htm　より Orz〜

数字７を４つと＋−×÷（　）を使って１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０
をつくってください。


























































解答

・わたしの

1=7*7/7*7=(7+7)/(7+7)=(7/7)/(7/7)=(7-7+7)/7
2=7/7+7/7
3=(7+7+7)/7
4=?
5=7-(7+7)/7
6=(7*7-7)/7
7=7+(7-7)/7=7+(7-7)*7
8=(7*7+7)/7
9=7+(7+7)/7
10=?

上記サイト参照...Orz...