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問題3299・・・算チャレ掲示板より 某さんの質問 Orz〜
１辺の長さが１の立方体５個を，１段目に田の形に４個，２段目に１個乗せて貼り合わせた形の立体がたくさんある。(２段目は面と面がぴったり合っています)
これらを組み合わせてできる最小の立方体って１辺が10でいいのでしょうか？５って無理ですか？
解答
・dobaさんのもの Orz〜
25個の立体を使って１辺が５の立方体ができたとします。
この立方体をある面に平行に５等分したものを１段目〜５段目とすると、
全ての立体は２つの連続した段に含まれます。
そこで、
１段目と２段目にまたがる立体：a個
２段目と３段目にまたがる立体：b個
３段目と４段目にまたがる立体：c個
４段目と５段目にまたがる立体：d個
とすると、当然a+b+c+d=25です。
また、ある段にその一部が含まれる立体の、５×５の面に現れる形状を考えると、いずれも２×２の正方形に含まれます。
ここで、５×５の正方形を、同じ向きに置いた２×２の正方形で埋め尽くす（重なってもよい）ことを考えると、最低でも９個必要です。（縦横とも２個では足りないので、自明な気がしますが、厳密に説明するのは少し面倒です。）
そこで、ある段に含まれる立体がn個あるとすると、これらの立体の５×５の面に現れる形状はいずれも２×２の正方形に含まれるので、５×５の正方形はn個の２×２の正方形で埋め尽くせることになり、n≧9が言えます。
このことを使うと、１段目と５段目に含まれる立体の個数はそれぞれa個、d個なので、a≧9、d≧9となり、a+b+c+d=25よりb+c≦7となりますが、３段目に含まれる立体の個数はb+c個なのでb+c≧9となり、矛盾します。
以上より、25個の立体を使って１辺が５の立方体ができるという仮定が誤りだということがわかり、その立体を組み合わせてできる立方体の１辺の最小値は５ではありません。
あとは、この立体４個を使って２×２×５の直方体が作れることは容易に示せるので（下図）、１辺が10の立方体が作れることが言え、それが最小の立方体となります。
壱弐参参四
壱弐弐参四
壱壱参参四
壱弐弐四四
十分咀嚼できてないままです...^^;
わたしは...市松模様で矛盾が言えないかと考えてましたが...
たとえば...
5^3 を白黒に塗り分けたとき...ピースの種類は２種類（白３、黒２）、（黒３、白２）
最後の１ピースはどちらの色にでも置き換えられることになるけど...置き換えた瞬間市松模様が崩れる...なんてことを...でも...あまり明確じゃない...^^;
dobaさんって...いつも鋭い♪
・某さんより Orz〜
証明は，
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☆☆☆☆☆
★☆★☆★
☆☆☆☆☆
★☆★☆★
９つの★はすべて別の正方形である，で良いですかね？
・dobaさんのコメ Orz〜
たしかにそれで証明できますね。
う〜む...そこで意味を理解しようと試みた...
使えるフォルムの形からしたら...上の★は異なるフォルムに属すことはわかり...
これを立方体、つまり６面で考えると...
角：8
辺：12
面：6
合計の26個がすべて異なる正方形となり...
それだけで...26*5>5^3 となるから存在しないってことでいいのかな ^^;?
市松模様の発想に似てますね♪
・dobaさんから Orz〜
もっと言うと中心も含め27個ですね。
*な、なるほど...真ん中入れて27個になるんだ ^^;
これって最小の並べ方を考えてるわけですよね？
ちなみに10個のときは...矛盾は導けないはずなんでしょうね...
10^2 の並べ方がわからない...^^;
市松模様で考えて...最後の５個がはめ込まれたとしたら...残りは色分けが半分ずつのピースで嵌るとしても...最後は一意に決まらなくなるから...
でも...市松模様の取り方によっては一意に決まっちゃうことになり...
これらは矛盾するから...無理なのかななんていい加減なこと考えてました...
証明になってないと思ったので...書き込みを控えてました...^^;
これって...やっぱり駄目かなあ...^^;?
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