アットランダム≒ブリコラージュ

蠢動...

大学受験を終えて戻って来た息子といつもの焼き肉屋でねぎらいの宴を昨日した...♪
結果は明日発表らしい...アウトカムはともかく、全力出し切れたという息子(晴れ晴れとしてる...プレッシャーから解放されたんだもんなあ...)によく頑張った、今の自分の力を出し切れたなら結果は天に任すしかない、今日はともかく、好きなもの食べろって具合で...^^
土曜は、予約入れてないものだから...外の車の中で待つこと４０分余り...^^;
飯大盛りわたしも珍しく食えた！！
極上肉を大盤振る舞い...^^v これに写すの忘れてる...待ってたものだから腹へってたから、即写メ...
その後はわたしにしては早い睡魔に襲われ...今朝は11時まで寝てた...^^;;
寒さの嫌いな私も...外の春めいた日差しに誘われて...ふらふらと久方ぶりのサイクリングへと...
脚力弱ってる...予想通りとはいえ...もう、意識的に使ってないと弱り目に祟り目の歳...^^;...
ギヤ比最大じゃ途中からきつし...
去年も撮った覚えのある椿がやはり違わず咲いてる...すでに落花も...♪
自然は春を寿いでる...♪
人の体も心も蠢動のギヤにチェンジされてくる♪

3385：連立方程式...

問題3385・・・2009年　日本数学オリンピック予選問題...

実数x1，x2，x3，x4，x5が次の５つの式をみたす。

x1*x2＋x1*x3＋x1*x4＋x1*x5＝−１
x2*x1＋x2*x3＋x2*x4＋x2*x5＝−１
x3*x1＋x3*x2＋x3*x4＋x3*x5＝−１
x4*x1＋x4*x2＋x4*x3＋x4*x5＝−１
x5*x1＋x5*x2＋x5*x3＋x5*x4＝−１

このとき，x1 としてありうる値をすべて求めよ。

























































解答

よく面白そうな問題思いつかれるものだと感心...^^;
file:///Users/soudakenji/Desktop/2009年日本数学オリンピック予選.webarchive　より Orz〜

等式はどの文字についても対称だから，１つの等式が成り立つとき，その式の文字を順に入れ替えた
等式も成り立つ。またどの文字についてもとり得る値は同じだから，x1だけでなくすべての文字について，
そのとり得る値を調べる。←このほうが考えやすいので。

第１式−第２式から，　
　　　（x1−x2　）（x3＋x4＋x5　）＝０　・・・（ア）
この式の番号を順に回転させた，例えば（x2−x3　）（　x1＋x4＋x5　）＝０など，すべて成り立っている。

まず，５つの文字がどれも異なるとする。　←こういう場合が無いことを示しておく
（ア）から，　x3＋x4＋x5　＝０
第１式は　x1 x2＋x1 （x3＋x4＋x5）＝−１だから，x1 x2＝−１　
他の２文字の積もすべて−１となるので，←対称性を利用
x1 x2･x2 x3･x3 x4･x4 x5･x5 x1＝−１　
( x1 x2 x3 x4 x5 )2 ＝−１＜０となるので不適。

よって，５つの文字のうちどれかは等しい。
そこで，x1＝x2＝t として一般性を失わない。←５つの文字全部のとり得る値を考えているので，こう設定してよい。
t＝０だと第１式が成り立たないので，t≠０
（ア）の文字を入れ替えて，　
（x1−x3　）（x2＋x4＋x5　）＝０より，
　　　　　　　　　　（ x3−t　）（x4＋x5　＋t　）＝０　・・・（イ）
同様に，　　　（ x4−t　）（x3＋x5　＋t　）＝０　・・・（ウ）
　 （ x5−t　）（x3＋x4　＋t　）＝０　・・・（エ）
（x3−x4　）（x1＋x2＋x5　）＝０より，
　　　　　　　　　　　（x3−x4　）（２t＋x5　）＝０　・・・（オ）
　　同様に，　　　　（x3−x5　）（２t＋x4　）＝０　・・・（カ）
　　　 　 （x4−x5　）（２t＋x3　）＝０　・・・（キ）
　　
（?鵝）　x3，x4，x5のいずれかが t　に等しいとき，←場合分けを行う
　　　x3＝t として一般性を失わない。
　 このとき，（キ）より，　（x4−x5　）×３t＝０　　t≠０より，x4＝x5
　　　x4＝t とするとx1〜x5がすべてtとなり，第１式は４t2 ＝−１となるので不適。
　　よってx4≠t　だから（オ）より，　x5＝−２t
（?鵞）　x3，x4，x5のいずれも t　に等しくないとき，←場合分けを行う
　　　（イ）〜（エ）より，
　　　　　　　　x4＋x5　＝−t　，x3＋x5　＝−t　，x3＋x4　＝−t
　　　これを解いて，x3=x4=x5=-t/2
　　　　　　　　
（?鵝），(?鵞)のいずれの場合も x1〜x5 は，順不同で，
　　　　　　　s　，s　，s　，−２s，−２s　　←このようにまとめて考えることができる
と表される。
x1＝s として第１式に代入すると，　←この場合だけ考えれば，答えが割り出せる。
　　　　s（　s＋s−２s−２s　）＝−１
　　　　s²=1/2, s=±√2/2　　　　　
x1のとり得る値は s　または−２s だから，
　　　　　　
s=±√2, ±√2/2


* これはなんとかできそうね...^^

3384：部分集合の数...

問題3384・・・2009年　日本数学オリンピック予選問題...

空間はその中の平面によって２つの部分に分かれるが，そのうち一方（平面は含まない）を半空間という。S を，どの４点も同一平面上にないような空間内の１０点からなる集合とする。
このとき，S の部分集合であって，Sとある半空間の共通部分となるものの個数を求めよ。


















































解答

いまいち意味がつかめない...^^;
ちょっと考えてみた...
10個の点は区別できるものと考える...
また、空集合も部分集合に含まれるとする...
0個と10個にわけるものは明らかにある。・・・2種類
1個と9個にわけることも可能・・・10*2=20種類
2個と8個も可能・・・10C2*2=90種類
3個と7個・・・10C3*2=10*9*8/3=240種類
4個と6個・・・10C4*2=10*9*8*7/4*3=420種類
5個と5個・・・10C5*2=10*9*8*7*6/5*4*3=504種類
これらすべてが可能なので...
3点を含む平面で残りの7点が...
0-7
1-6
2-5
3-4
に分けられる場合も上に含まれているはず...
つまり...
合計=2+20+240+420+504=1186種類
だと思うんだけど...
答えと違う...^^;?

別の発想で...
ある平面を決めて、それで空間は2分されるので、そこに10個の点を振り分ける場合を考える。
平面上に点がない場合。
2^10/2=512
平面上に3点がある場合。
この場合も、上の場合に含まれていることは明らかななので...
けっきょく...512種類？

file:///Users/soudakenji/Desktop/2009年日本数学オリンピック予選.webarchive　では...
260種類なんだけど...?

3383：関数方程式...

問題3383・・・彩草塗の徒然記 http://blogs.yahoo.co.jp/cyksart/49080462.html　より Orz〜

実数x、yに対して、以下の(1)、(2)、(3)の関係を満たす関数f(x)、g(x)、h(x)がある。
(1) f(x+y)=f(x)+f(y)
(2) g(x+y)=g(x)g(y)
(3) h(x+y)=h(x)+h(y)+h(x)h(y)

関数f(x)、g(x)、h(x)に関して、f(x)、g(x)、h(x)の一例を変数をxとして表せ。






























































解答

上記サイトより Orz〜

非常に簡単で、具体的な例として
f(x)=x
g(x)=2^x　

h(x+y)=h(x)+h(y)+h(x)h(y)
両辺に1を足して、
h(x+y)+1=h(x)+h(y)+h(x)h(y)+1={h(x)+1}{h(y)+1}
となるので、
h(x+y)+1=2^x
などの関数例が得られる。これより、
h(x+y)=2^x-1

なるほど〜♪

3382'：最小の角度 解答

問題3382の解答です ^^v
file:///Users/soudakenji/Desktop/2009年日本数学オリンピック予選.webarchive　より Orz〜

図のようにＤをとる。←中線があったらとりあえず伸ばしてみる
四角形ＡＢＤＣは平行四辺形だから，∠ＢＡＣ＝180°−∠ＡＢＤ
よって，∠ＡＢＤが最大になる場合を考えればよい。←この方が文字が少なくてすむ
△ＡＢＤで余弦定理を使って，(画像)
　　　　　　　
ここで，（相加平均）≧（相乗平均）を使うと，(画像)　　
　　　　　　　　
だから，(画像)　　
　　　　　　　
∠ＡＢＤが最大になるのは，(画像)

つまり∠ＡＢＤ＝30°のとき。
このとき，∠ＢＡＣ＝150°
（答）150°


なるほど...華麗だ♪