2010年03月14日の記事一覧 - 詳細表示

3433：テープの分割...

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問題3433・・・http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/cat35777684/index.html　より Orz～

１ｍの紙テープがあります。このテープを３等分、５等分、７等分したところに印をつけ、印をつけたところで切断します。このときできる紙テープの長さの種類は？

(麻布中学　2010年)

解答

これはまじめに考えてみようかな...^^;v

・わたしの

テープを1/3*5*7 に分割する。
すなわち...105個に分ける。
7分割
15-15-15-15-15-15-15
5分割
21-21-21-21-21
3分割
35-35-35

すなわち...
15,30,45,60,75,90,105
21,42,63,84,105
35,70,105

小さい順に並べる...
15,21,30,35,42,45,60,63,70,75,84,90,105
この差だけの種類あるはず。
15-6-9-5-7-3-15-3-7-5-9-6-15
けっきょく...
3,5,6,7,9,15
なので...
3/3*5*7=1/35
5/3*5*7=1/21
6/3*5*7=2/35
7/3*5*7=1/15
9/3*5*7=3/35
15/3*5*7=1/7
の6種類でいいのかな...?

上記サイトより Orz～

３，５，７の最小公倍数は、３×５×７＝１０５で、
３等分するところ：１/３、２/３
５等分するところ：１/５、２/５、３/５、４/５
７等分するところ：１/７、２/７、３/７、４/７、５/７、６/７　です。
切断するところを分母を１０５として分子を表すと、
３等分するところ：３５，７０
５等分するところ：２１，４２，６３，８４
７等分するところ：１５，３０，４５，６０，７５，９０
となります。
小さい順に切断するところを書くと、
１５，２１，３０，３５，４２，４５，６０，６３，７０，７５，８４，９０
となるので、できるテープの長さは、
１５，６，９，５，７，３，１５，３，７，５，９，６，１５
のように６種類でき、その長さは、
１５/１０５、６/１０５、９/１０５、５/１０５、７/１０５、３/１０５
＝１/７、２/３５、３/３５、１/２１、１/１５、１/３５（ｍ）です。

* 同じでしたね ^^v♪

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3432：カード...

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問題3432・・・http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/cat35777684/index.html　より Orz～

カードがたくさんあり、それぞれに１から順番に１つずつ整数が書かれています。この中から「３」と「７」が書かれたカードを除いていきます。
たとえば、２０枚のカードがあったとき、書かれている整数は１から２０までで、この中から「３」、「７」、「１３」、「１７」を除くので、残るカードは１６枚となります。
では...
１からＡまでの整数が書かれたカードＡ枚から、「３」と「７」の書かれたカードをすべて除くと、４００枚のカードが残りました。最初にあったカードの枚数Ａを求めなさい。

（広島大学附属福山中学　2009年　入試問題)

解答

上記サイトより Orz～

０,１,２,４,５,６,８,９の 8枚で整数を表すという、『8進法』の問題です。

『8進法』のＡを『10進法』に直すと400になったということなので、『10進法』の400を『8進法』に直します。
400＝6×8^{2,/SUP>＋2×8¹＋0 x8⁰と表すことができるので、『10進法』の 400 は

『8進法』の 620 と直せるので、最初にあったカードの枚数は、620 枚です。　

* 発想の転換/飛躍 !!...鮮やかね♪}

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3431：整数...

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問題3431・・・http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/2010/01/2009-b962.html#more　より Orz～

整数Ｘに対して、[ Ｘ ]で表したものを、１からＸまでのすべての整数をかけたものとします。
たとえば、[１]＝１、[３]＝１×２×３、[４]＝１×２×３×４のようになります。

このとき、次の問に答えなさい。

（1）５×[５]＋４×[４]＋３×[３]＋２×[２]＋１×[１]＋１＝[ Ａ ]　を満たす整数Ａを求めなさい。

（2）2009＝Ｂ×[６]＋Ｃ×[５]＋Ｄ×[４]＋Ｅ×[３]＋Ｆ×[２]＋Ｇ×[１]　として表すとき、

　　Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇの和がもっとも小さいとき、その和を求めなさい。

（滝中学　2009年　入試問題)

解答

上記サイトより Orz～

(1) 式の工夫をすると、

５×[５]＋４×[４]＋３×[３]＋２×[２]＋１×[１]＋１　
＝（６－１）×[５]＋（５－１）×[４]＋（４－１）×[３]＋（３－１）×[２]＋（２－１）×[１]＋１
＝（[６]－[５]）＋（[５]－[４]）＋（[４]－[３]）＋（[３]－[２]）＋（[２]－[１]）＋１
＝ [６]
　
(2) [６]＝７２０、[５]＝１２０、[４]＝２４、[３]＝６、[２]＝２、[１]＝１です。

　２００９÷７２０＝２あまり５６９
　５６９÷１２０＝４あまり８９
　８９÷２４＝３あまり１７
　１７÷６＝２あまり５
　５÷２＝２あまり１

よって、Ｂ＝２、Ｃ＝４、Ｄ＝３、Ｅ＝２、Ｆ＝２、Ｇ＝１となり、
その和は、２＋４＋３＋２＋２＋１＝１４です。

* なるほど♪

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3430：恒等式...

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問題3430・・・ばち丸さんのサイト http://blog.goo.ne.jp/akeot/e/899b8130f1c380d6e63f71a93da0389f　より Orz～

ｍとｎについての２次以下の多項式で、係数の絶対値が３以下の整数であるものを３つ用意し、
これをX、Y、Zとする。
これらを使って恒等式：X²-XY+Y²=Z²を満足させることは出来ますか。
可能ならば1例を挙げてください。不可能ならばなぜ不可能か説明してください。

ピタゴラス数X,Y,Z（1つの角は90°の三角形の3辺の長さである)については
X=m²-ｎ²、Y=2mn、Z=m²+n²がX²+Y²=Z²を満たすことはよく知られています。
これと同類のことを1つの角が60°の三角形で出来ますかときいているのです。

解答

上記サイトより Orz～

・uchinyanさんのもの Orz～

△ABC で，AB = X，AC = Y，BC = Z とすると，余弦定理より，
Z² = X² + Y² - 2XY * cosA
ここで，r = - 2 * cosA とすれば，
Z² = X² + Y² + rXY
このとき，X = m² - n², Y = 2mn + rn² とすると，
X² + Y² + rXY
= (m² - n²)² + (2mn + rn²)² + r(m² - n²)(2mn + rn²)
= m⁴ - 2 * m² * n² + n⁴ + 4 * m² * n² + 4r * m * n³ + r² * n⁴
+ 2r * m³ * n - 2r * m * n³ + r² * m² * n² - r² * n⁴
= m⁴ + r² * m² * n² + n⁴ + 2r * m³ * n + 2 * m² * n² + 2r * m * n³
= (m² + rmn + n²)²
なので，Z = m² + rmn + n² とすればいいです。ここまでは，r は無理数でも構いません。
本題は，r = -1，cosA = 1/2，A = 60°，なので，
X = m² - n², Y = 2mn - n², Z = m² - mn + n²
AB = 5，AC = 6，BC = 7 の場合は，
cosA = (5² + 6² - 7²)/(2 * 5 * 6) = 12/60 = 1/5，r = - 2/5
X = m² - n², Y = 2mn - 2/5 * n², Z = m² - 2/5 * mn + n²
整数係数に限るならば，X, Y, Z をすべて 5 倍しても Z² = X² + Y² + rXY は成り立つので，
X = 5(m² - n²), Y = 10mn - 2n², Z = 5m² - 2mn + 5n²
とすればいいです。一般に，r が有理数のときは同じことが可能です。
ただし，これは，X, Y, Z には定数倍だけの不定性があることを意味しているので，
実際に意味のあるのは，X：Y：Z であることに注意が必要です。例えば，
m = 2, n = 1, X = 15, Y = 18, Z = 21, X：Y：Z = 5：6：7
m = 3, n = 1, X = 40, Y = 28, Z = 44, X：Y：Z = 10：7：11
m = 3, n = 2, X = 25, Y = 52, Z = 53, X：Y：Z = 25：52：53
など。ぱずるさんの例示 (上記サイト参照 Orz...v) の値が再現することはプログラムで確かめましたが，
m, n が，かなり大きな値でないと出て来ないものもあるようです。

なお，多分，X, Y, Z の式をどうやって求めたのかを知りたいだろうと思いますが，
大分長くなってしまったので簡単に。

ピタゴラス数を求めるときにも使われる手法ですが，
X² + Y² + rXY = Z²
の両辺を Z² で割って，x = X/Z, y = Y/Z とおいた
x² + y² + rxy = 1
のグラフと y = t(x + 1) の交点を考えます。t = n/m とおいたものから求める式が得られます。
詳細は，恐縮ですが，(A = 120°の場合も含め)...
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html
のNO.215の解答のuchinyanのものの(別解)をご覧ください。

なんだか凄い...^^;♪

アットランダム≒ブリコラージュ

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