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問題3703の解答です ^^v
ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/16966831.html より Orz〜
分母が 2 〜 10 の自然数である既約分数で、1より小さい正のものすべての和は？
[解答]
一般に、ｎ未満のｎと互いに素な自然数の個数をφ(n)で表します。
例えば、9未満で9と互いに素な自然数は、1，2，4，5，7，8 だから、φ(9)＝6 です。
分母が9の既約分数で、1より小さい正のものが、1/9，2/9，4/9，5/9，7/9，8/9 であるように、
φ(n)は、分母がｎの既約分数で、１より小さい正のものの個数と等しくなります。
また、k/n が既約なら、1−k/n も既約ですので、全体の平均は 1/2 になります。
個数は、φ(2)＋φ(3)＋φ(4)＋φ(5)＋φ(6)＋φ(7)＋φ(8)＋φ(9)＋φ(10)
＝1＋2＋2＋4＋2＋6＋4＋6＋4＝31、
よって、総和は、(1/2)×31＝31/2 となります。
☆ 分母が 100 までなら 3043/2 、1000 までなら 304191/2 です。
[参考1] オイラー関数
ｎ未満のｎと互いに素な自然数の個数をφ(n)をオイラー関数といいます。
一般に、m，n が互いに素であれば、φ(mn)＝φ(m)φ(n) です。
また、ｎの全ての素因数を p，q，…… とすれば、
φ(n)＝n(1−1/p)(1−1/q)…… になります。
[参考2] ファレイ数列
自然数ｎを指定し、
分母がｎ以下の１未満の既約分数を小さい方から並べたものをファレイ数列といいます。
この数列の最初に 0/1 を、最後に 1/1 を加えることもあります。
例えば、n＝6 のときのファレイ数列は、
0/1， 1/6， 1/5， 1/4， 1/3， 2/5， 1/2， 3/5， 2/3， 3/4， 4/5， 5/6， 1/1
です。
0/1 ☆ 1/6， 1/5， 1/4 ☆ 1/3， 2/5 ☆ 1/2 ☆ 3/5， 2/3 ☆ 3/4， 4/5， 5/6 ☆ 1/1
このうち、☆印の両側は分母の和が７であり、
分子どうし・分母どうしを加えて出来る分数 1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7 を入れると、
n＝7 のときのファレイ数列になります。
なお、
ファレイ数列で a/b と c/d が隣り合っている場合、必ず、bc−ad＝1 が成り立ちます。
a/b と c/d の間に p/q を入れる場合、p＝a＋c，q＝b＋d ですが、
a/b ，p/q ，c/d について、
bp−aq＝b(a＋c)−a(b＋d)＝bc−ad 、qc−pd＝(b＋d)c−(a＋c)d＝bc−ad
であり、 n＝1 のファレイ数列 0/1 ，1/1 が bc−ad＝1 を満たすからです。
*オイラー関数で考えるのって自然なんだろけど素敵だなぁ♪
それに引き換え...わたしのは例によって地道な...^^;...
(1+2+...+k)/(k+1)=k(k+1)/2(k+1)=k/2
(1+2+...+9)/2=45/2
1/2...2/4,3/6,4/8,5/10...4*(1/2)
1/3...2/6,3/9...2*(1/3)
2/3...4/6,6/9...2*(2/3)
1/4...2/8...1*(1/4)
3/4...6/8...1*(3/4)
1/5...2/10...1*(1/5)
2/5...4/10...1*(2/5)
3/5...6/10...1*(3/5)
4/5...8/10...1*(4/5)
2+2/3+4/3+1/4+3/4+(1+2+3+4)/5=2+2+1+2=7
45/2-7=31/2=15.5
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