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２５５５は十進法で表すと１６８桁の数で、その最高位（先頭）の数字は１である。 集合｛２ｎ｜ｎは整数で１≦ｎ≦５５５｝の中に、十進法で表した最高位の数字Ｎについて、
問題：Ｎ＝４は何回現れるか。
追加問題、Ｎ＝１，２，３，５，６，７，８，９はそれぞれ何回現れるか気になります。
誰か教えてください。
解答
上記サイトより Orz〜
・Toruさんのもの Orz〜
2^0=1より最高位の数字の数のみを問題にする時は
2^n （n=0〜554）を考えても同じ
これらは2^nの形の１桁から１６７桁の数を全て含むことになるが、これを小さい方 から見て行くと桁数が上がったあとの最高位の数は必ず１であるから 各桁の数の最高位の数の組合せとしては (1,2,4,8) (1,2,4,9) (1,2,5) (1,3,6) (1,3,7) の５通りがある。 555個で167桁までをすべて網羅したから、このうち４つの組み合わせ（(1,2,4,8) (1,2,4,9)）が 555-167x3=54 桁分ある。 ４はこの数と一致するので ５４回あらわれる。 *そう単純に考えていいのだろうか...^^;?
追加問題 同じような考え方では １が１６７回という以外は求まりませんです。 どうも簡単には行きそうにないので、とりあえずエクセルでバア−っと計算して数え ておきました。 １：１６７ ２：９９ ３：６８ ４：５４ ５：４５ ６：３７ ７：３１ ８：２９ ９：２５ ・三角定規さんのもの Orz〜
以下は，解答ではなく，感想です。
数 N の常用対数を logN として，［logN］＋1 が N の桁数を，10^{logN} ( {logN} は小数部) が仮数を表します。
ここで，
log2=0.301029…
log3=0.477121…
等だから，例えば
0.301029…＜{logN}＜0.477121…
ならば，N の最高位の数は 2 となります。
そこで，本問です。
N＝2^n，logN＝nlog2＝(0.301029…)n を考えるわけですが，log2 は無理数で 301029… には循環性がありません。
よって，nlog2 の小数部や 2^n の最高位数と n との間に関係性があるとは思えません。 そこで，Excel で力ずくの計算をしてみました。添付した “2^n.xls” がそれです。...*割愛...Orz...
これによれば，1≦n≦555 で，2^n の最高位が 4 となるのは 54 回で，1〜9 の回数も表の通りです。最高位数 k が大きいほど回数 m(k) が小さくなるのは，幅 log(k＋1)−logk が小さくなるためでしょう。いくらかの相関性も伺えます。
・uchinyanさんのもの Orz〜
最上位桁の数字の出現は、繰り上がりの有無を考慮すると、繰り上がりは高々 +1 なので、
次のパターン、ループ、が考えられます。 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 1 : 全く繰り上がりなし 1 -> 2 -> 4 -> 9 -> 1 : 4 * 2 のところで繰り上がり 1 -> 2 -> 5 -> 1 : 2 * 2 のところで繰り上がり 1 -> 3 -> 6 -> 1 : 1 * 2 のところだけで繰り上がり 1 -> 3 -> 7 -> 1 : 1 * 2, 3 * 2 のところで繰り上がり そして、1 に戻ったとき、つまり、ループが閉じたときに、桁が一つ増えます。 今、2^555 の最上位桁の数字は 1 なので、これらループをいくつか繰り返し閉じた場合になっています。 さらに、2^555 の桁は 168 桁なので、2^1 から初めて、上記のループが 168 - 1 = 167 個入っていなければなりません。 さて、4 が出現するのは、上記のループのうち、2 倍する回数、-> の個数、 これをループの長さともいうことにします、が 4 回の上二つです。 そこで、4 の出現回数を x とすると、上二つのループが合計 x 個、下三つのループが合計 167-x 個、 あることになります。 さらに、ループの長さだけ 2 のべきが増えるので、次の関係がいえます。 4 * x + 3 * (167 - x) = 555 これを解いて、x = 54、つまり、4 は 54 回出現します。 *熟読玩味...^^;
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コメント（2）
