4421：曲線の長さ...放物線...

問題4421・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26258607.html より Orz〜

放物線 y＝x²/36 の、(0，0) から (24，16) までの長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26368399.html より Orz〜

[解答1] 

∫√(x²＋A)dx＝(1/2){ x√(x²＋A)＋Alog|x＋√(x²＋A)| }＋C です。

y＝x²/36 のとき、y'＝x/18 、　求める長さは、
　∫₀²⁴ √((y')²＋1)dx＝∫₀²⁴ √(x²/324＋1)dx＝(1/18)∫₀²⁴ √(x²＋324)dx
＝(1/18)(1/2)[x√(x²＋324)＋324log|x＋√(x²＋324)|]₀²⁴
＝(1/36)[x√(x²＋324)]₀²⁴＋9[log|x＋√(x²＋324)|]₀²⁴
＝(1/36)･24･30＋9(log54−log18)＝20＋9･log3

☆ 放物線の式は簡単ですが、長さを求めるのは厄介です。

☆ 20＋9log3＝29．88751……


[解答2] 再出発さんのコメントより

求める長さを L とすれば、
　L＝∫₀²⁴ √(x²/324＋1)dx
　 x＝18tanθ (−π/2＜θ＜π/2) とおけば、dx＝(18/cos²θ)dθ
　L＝18∫₀^arctan(4/3) (1/cos³θ)dθ
　 sinθ＝t とおけば、cosθdθ＝dt

L＝18∫₀^4/5 {1/(1−t²)²}dt
＝(9/2)∫₀^4/5 {(1＋t)^-2＋(1−t)^-2＋(1＋t)^-1＋(1−t)^-1}dt
＝(9/2)[−(1＋t)^-1＋(1−t)^-1＋log(1＋t)−log(1−t)]₀^4/5
＝(9/2)〔{−5/9＋5＋log(9/5)−log(1/5)}−0〕＝(9/2)(40/9＋log9)＝20＋9･log3



[参考1] 

√(x²＋A) の積分は、√(x²＋A)＝t−x とおきます。

√(x²＋A)＝t−x より、x²＋A＝t²−2tx＋x²、x＝(t−A/t)/2、
dx/dt＝(1＋A/t²)/2、√(x²＋A)＝t−x＝(t＋A/t)/2

∫√(x²＋A)dx＝(1/4)∫(t＋A/t)(1＋A/t²)dt＝(1/4)∫(t＋2A/t＋A²/t³)dt
＝(1/4)(t²/2＋2Alog|t|−A²/2t²)＋C＝(1/2){(t−A/t)(t＋A/t)/4＋Alog|t|}＋C
＝(1/2){x√(x²＋A)＋Alog|x＋√(x²＋A)|}＋C

☆ もちろん、結果を知っていれば、微分して確かめるのが楽です。


[参考2] 

 P から x軸への垂線の足をH，OHの中点をM，焦点をF とすれば、( PMはPでの接線ですが、)
放物線 y＝ax² の、O(0，0) から P までの長さは、PM＋OF･log{(PM＋PH)/MH} になりました。
本問では、OF＝9，PH＝16，MH＝12 より PM＝20 、長さは 20＋9･log{(20＋16)/12}＝20＋9･log3 です。

△MHP を 3：4：5 の三角形にして、答がなるべく単純になるように作問しました。

・黒翼さんのもの Orz〜

積分で解くなら，∫√(x^2＋A)dxをどう計算するかがポイントになり，それが解法の違いになりそうですね．

僕は，
Ｉ＝∫√(x^2＋A)dxとすると，
Ｉ＝∫x'√(x^2＋A)dx
＝x√(x^2＋A)−∫{x^2/√(x^2＋A)}dx
＝x√(x^2＋A)−∫√(x^2＋A)dx＋A∫{1/√(x^2＋A)}dx
＝x√(x^2＋A)−Ｉ＋Alog|x＋√(x^2＋A)|＋Ｃ
2Ｉ＝x√(x^2＋A)＋Alog|x＋√(x^2＋A)|＋Ｃ
Ｉ＝(1/2){x√(x^2＋A)＋Alog|x＋√(x^2＋A)|}＋Ｃ

としました．部分積分ですね．

ちなみに，
∫√(a^2−x^2)dx＝(1/2){x√(a^2−x^2)＋(a^2)arcsin(x/a)}
こちらは，根号の中のx^2の係数が負のときに使えますね．

・uch*n*anさんのコメ Orz〜

この積分は，一度は経験しておかないとかなり難しいと思います。
[参考1]の方法が一番楽ですが，A = a^2，a > 0 の場合には，
再出発さんの x = a * tanθ とおく方法以外にも，x = a * (e^t - e^(-t))/2 とおく方法もあります。
A = - a^2 の場合にも似たような置き換えでできますが，
[参考1]の方法はそれらを統一的に扱える点でも優れていると思います。

*う〜〜〜ん...もう無理...ちなみにわたしはカンペで当て嵌めただけでした...^^;...Orz〜