アットランダム≒ブリコラージュ

4673：面積...直角三角形...

問題4673・・・浮浪の館  http://www.geocities.jp/hagure874/  より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

*いろんな問題が作れるものねぇ♪

4672：円の直径...角の二等分線...

問題4672・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/27774140.html  より Orz〜

　図のように、３点A，B，Cを通る円があって、弦AB＝34，弦AC＝14 です。
∠BACの二等分線と円の交点をPとすれば、AP＝24√2 になりました。

このとき、この円の面積は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/27864058.html  より Orz〜

[解答1] 

BP＝CP ，∠PBC＝∠PAC＝∠PAC になり、

以下の(理由1)〜(理由4)のいずれかにより、∠BAC＝90ﾟ になります。
BC²＝AB²＋AC²＝34²＋14² 、
(BC/2)²＝17²＋7²＝338 、
求める面積は、 π(BC/2)²＝338π になります。


(理由1) 

∠BAP＝∠PAC＝θ として △ACP，△ABP に余弦定理を用いて、BP²＝CP² を書き換えれば、 
14²＋(24√2)²−2･14･(24√2)cosθ＝34²＋(24√2)²−2･34･(24√2)cosθ 、
2･20･(24√2)cosθ＝(34＋14)(34−14) 、cosθ＝1/√2 、θ＝45ﾟ 、∠BAC＝90ﾟ です。


(理由2) 

ABの延長上に、BE＝AC を満たす点Eをとると、∠EBP＝∠ACP ，BP＝CP だから、△EBP≡△ACP です。
よって、∠BEP＝∠CAP＝∠PAB となって、△PAE は PA＝PE の二等辺三角形、また、
PA：AE＝24√2：(34＋14)＝1：√2 だから、△PAE は 直角二等辺三角形で、∠PAB＝45ﾟ です。


(理由3) uch*n*anさんの解答より 

AP と BC の交点を D とします。
∠BAP＝∠CAP より BD：CD＝AB：AC＝34：14＝17：7 ，BD＝(17/24)BC です。
また，円周角一定より ∠PBD＝∠PAB ，∠APB が共通だから，∠PCB，△PBD ∽ △PAB，
PB：PA＝BD：AB，PB：24√2＝(17/24)BC：34 ，PB＝BC/√2＝PC です。
そこで，△PBC は辺の比が 1：1：√2 なので，∠BPC＝90ﾟ ，
四角形ABPC は円に内接しているので ∠BAC＝90ﾟ になります。


(理由4) 

トレミーの定理により、BC･AP＝AB･CP＋AC･BP です。
円周角が等しいので、BP＝CP ですので、BC･AP＝AB･BP＋AC･BP です。
BC･24√2＝34･BP＋14･BP 、BC＝BP√2 となって、△PCB は直角二等辺三角形です。
四角形ABPC は円に内接しているので ∠BAC＝90ﾟ になります。


[解答2] 再出発さんの解答より 

右上図のように、弧BP＝弧AQ となる点Qを 弧ACP上にとり、APとBQの交点をRとすると、
四角形ABPQは等脚台形で、△RAB∽△RPQ で、ともに二等辺三角形です。
RA：RP＝AB：PQ＝34：14＝17：7 ，RA＋RP＝AP＝24√2 、BE＝17√2, DE＝7√2 です。

△RABと△RPQ は直角二等辺三角形なので、BP＝26 、
よって、外接円の半径 r は r ＝26/(2sin45ﾟ)＝13√2 、
円の面積は、(13√2)²π＝338π です。

[解答3] 座標で(大げさ？) 

0＜α＜π ，0＜β＜π ，0＜c として、
極座標で、A(34，0)，P(24√2，α)，B(14，2α) とし、円の中心を(c，β) とすれば、
極を通る円の方程式は、r＝2c･cos(θ−β) になります。

この円上に A，B，P があるから、34＝2c･cosβ ，14＝2c･cos(2α−β) ，24√2＝2c･cos(α−β)、
17＝c･cosβ ……(1) ，　7＝c･cos(2α−β) ……(2) ， 12√2＝c･cos(α−β) ……(3)
(2)より、7＝c･cos2αcosβ＋c･sin2αsinβ 、(1)を代入して、7＝17cos2α＋c･sin2αsinβ 、 
7＝17(2cos²α−1)＋2c･sinαcosαsinβ ……(4)
(3)より、12√2＝c･cosαcosβ＋c･sinαsinβ 、(1)を代入して、12√2＝17cosα＋c･sinαsinβ 、 
24(√2)cosα＝34cos²α＋2c･sinαcosαsinβ ……(5)

　(4)−(5) より、7−24(√2)cosα＝−17 、α＝π/4 になります。
よって、(2)は 7＝c･sinβ ……(6) となります。
(1)²＋(6)² より、c²＝17²＋7²＝338 、
この c が円の半径だから、その面積は、c²π＝338π です。

・uch*n*anさんの追加コメ Orz〜

ゴリゴリ計算していいのならば，普通の座標での計算の方が素直な気がします。
計算は簡単ではないですが，基本的でいい例題なので，ご参考までに書いておきましょう。

m = tan(∠BAP) = tan(∠CAP) > 0，2p = 24√2，q を 0 以上の実数，とし，
A(p,0)，P(-p,0)，円の中心を Q(0,q) と座標を入れます。すると，
円：x^2 + (y - q)^2 = r^2，AB：y = - m(x - p)，AC：y = m(x - p)
A，P は円周上にあるので，p^2 + q^2 = r^2，です。
また，B の x 座標 b は次の x の二次方程式の p 以外の解です。
x^2 + (- m(x - p) - q)^2 = r^2 = p^2 + q^2
(m^2 + 1)x^2 - 2m(mp - q)x + p((m^2 - 1)p - 2mq) = 0
(x - p)((m^2 + 1)x - ((m^2 - 1)p - 2mq)) = 0
b = ((m^2 - 1)p - 2mq)/(m^2 + 1)

そこで，
AB^2 = (b - p)^2 + ((- m(b - p)) - 0)^2 = (m^2 + 1)(b - p)^2
= (m^2 + 1)(((m^2 - 1)p - 2mq)/(m^2 + 1) - p)^2
= 4(p + mq)^2/(m^2 + 1)
C の方は m -> -m とすればいいので，
AC^2 = 4(p - mq)^2/(m^2 + 1)
です。AB^2 - AC^2 より，
16mpq/(m^2 + 1) = AB^2 - AC^2 = 34^2 - 14^2 = 48 * 20
mq = 60(m^2 + 1)/p = 5(m^2 + 1)/√2

これと，AB^2 + AC^2 より，
8(p^2 + (mq)^2)/(m^2 + 1) = AB^2 + AC^2 = 34^2 + 14^2
2((12√2)^2 + (5(m^2 + 1)/√2)^2)/(m^2 + 1) = 17^2 + 7^2 = 338
25(m^2 + 1)^2 - 338(m^2 + 1) + 2 * 288 = 0
((m^2 + 1) - 2)(25(m^2 + 1) + 288) = 0
m^2 + 1 > 0 なので，
m^2 + 1 = 2，m = 1，q = 10/√2
r^2 = p^2 + q^2 = (12√2)^2 + (10/√2)^2 = 288 + 50 = 338
これより，
円の面積 = πr^2 = 338π
になります。もちろん，
m = tan(∠BAP) = tan(∠CAP) = 1，∠BAP = ∠CAP = 45°，∠BAC = 90°
です。

*計算力の差をまざまざと感じさせられます...^^;...

  ちなみにわたしの...

中心Oを通る△は直角...

2r^2-2r^2*cos2β=x^2
r^2=x^2/(2(1-cos2β))
π*r^2 が求めるもののはず...

x^2=14^2+24^2*2-2*14*24√2*cosβ
=34^2+24^2*2-2*34*24√2*cosβ

cos2β=2(cosβ)^2-1
1-cos2β=-2(cosβ)^2+2

cosβ=1/√2
つまり...cos2β=cos(π/2)=0
x=√2*r
r^2=x^2/2
x^2=34^2+24^2*2-2*34*24=(34-24)^2+24^2=100+576
r^2=676/2=338
よって...
円の面積=338π

冗長でした...^^;...

モーザーのparadox...

画像：http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b3ab2b9875e9a2b81b055153c078439b より 引用 Orz〜

「超ひもが存在する11次元のうち6つまたは7つの(余分な)次元はドーナツ型に丸まってしまって、時間と空間の1次元+3次元=4次元に住む私たちには見えない。この11次元のドーナツのことを発見した数学者の名にちなんで「カラビ-ヤウ空間（カラビ-ヤウ多様体）」という。掲載画像は私たちにも見えるように3次元空間に投影したものだ。それぞれのカラビ-ヤウ多様体の大きさはは超ひもとほぼ同じで10のマイナス33乗センチメートルだ。水素原子のサイズが10のマイナス8乗センチメートル、電子のサイズが10のマイナス17センチメートルなので、これがいかに小さいかということがおわかりであろう。超ひも理論やM理論が相対性理論と量子力学を統一するこの世界の究極理論だとすると、このドーナツ型をしたものが空間のあらゆる点に存在しているそうだ。超ひも理論で、巻き上げられているカラビ・ヤウ空間の性質に「特定の操作を加えると、できた新しい空間が持つ偶数次元の穴の数が、もとの空間の持つ奇数次元の穴と数が等しくなる」という。・・・竹内薫先生の「超ひも理論とはなにか」の表紙に使われているのもカラビ-ヤウ多様体である。」

http://yaplog.jp/takanstk/archive/324 より 引用 Orz〜

「超弦理論は１０次元時空で矛盾の無い理論なのですが、
一方で我々の棲む時空は時間１次元＋空間３次元の４次元時空です。
素粒子の標準模型も４次元で書かれています。
従って、弦理論から標準模型を引き出すには、10-4=6次元が観測できないほど小さく（プランクスケール程度）巻き上げられていないといけません（これをコンパクト化という）。
弦は巻き上げられた小さな空間を動き振動します。
このとき、空間の巻き方という高次元の幾何学が弦の振動パターン、すなわち素粒子の質量スペクトルや力荷などを決めます。
高次元空間の大きさと幾何学的な形によって、宇宙の基本的な物理的性質が決まるのです。

で、この幾何学によって決まる素粒子のスペクトルが、我々の良く知る標準模型を再現していなければならないわけですが、そうなる”幾何学的な形”とはどんなものか？が知りたくなりますよね。
それが、カラビ・ヤウ多様体　なのです。
この多様体は、弦理論の研究より前に、数学者カラビとヤウによって研究されたもので、後にカンデラス、ホロウィッツ、ストロミンジャー、ウィッテンによって弦理論における余剰次元のコンパクト化の形として適切であると証明されました。」

画像：http://www.scientificsonline.com/calabi-yau-manifold-crystal.html より Orz〜

Calabi-Yau Manifold Crystal

まったくわかりませんけど...^^;;;...

人の知覚はいかにいい加減で曖昧模糊なのかって話は以下で堪能あれ!!...^^;v

この３次元に限っての知覚としては完結/適応できてるんでしょうけど...?

完結型妄想と何ら変わらないんでしょうよね...^^;...?

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/525_k3.htm より Orz〜

「モ−ザーのパラドックス

ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さ√ｎはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．

この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．」

描きなぐり...?

画像：http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20110829/1314608573 より Orz〜

「これは次のような数列である。

{731, 2194, 1097, 3292, 1646, 823, 2470, 1235, 3706, 1853, 5560, 2780, 1390, 695, 2086, 1043, 3130, 1565, 4696, 2348, 1174, 587, 1762, 881, 2644, 1322, 661, 1984, 992, 496, 248, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 171, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}」

*さてなんでしょう？

　　　　　　　　　「ウラムの螺旋にオーバーラップするとこうなる。」

*そう!!...コラッツ数列だったんですぅ〜♪

「コラッツの問題というのは、ｘが偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１をたす。これを繰り返すと「１」となる。それはすべての数でそうなるか？

この問題にはエルデシュも匙を投げて、現代数学がまだ未熟な証拠としたそうだ。」

*まるで現代アートね♡