アットランダム≒ブリコラージュ

4103：内接円...ジェルゴンヌ点...

問題4103・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23456000.html#23456000 より Orz〜

△ABCの内接円とBC，CA，ABとの接点をそれぞれD，E，Fとすると、

AD，BE，CFは１点で交わります。

その交点をPとし、BC＝7，CA＝9，AB＝10 とするとき、

面積比、△PBC：△PCA：△PAB＝？

解答

上記サイトより http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23571124.html Orz〜

　AE＝AF＝a，BF＝BD＝b，CD＝CE＝c とすれば、b＋c＝7，c＋a＝9，a＋b＝10 、

　従って、a＋b＋c＝13 、a＝6，b＝4，c＝3 になります。

メネラウスの定理より、
(AP/PD)(DB/BC)(CE/EA)＝1 、(AP/PD)(4/7)(3/6)＝1 、AP/PD＝7/2 、△PBC＝(2/9)△ABC 、
(BP/PE)(EC/CA)(AF/FB)＝1 、(BP/PE)(3/9)(6/4)＝1 、BP/PE＝2 、△PBC＝(1/3)△ABC 、
(CP/PF)(FA/AB)(BD/DC)＝1 、(CP/PF)(6/10)(4/3)＝1 、CP/PF＝5/4 、△PBC＝(4/9)△ABC 
となって、
△PBC：△PCA：△PAB＝(2/9)：(1/3)：(4/9)＝2：3：4 になります。

☆ AD，BE，CFが１点で交わることは、チェバの定理の逆より明らかです。
この交点を△ABCのジェルゴンヌ点といいます。ふじもさんのHPをご覧下さい。
http://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Gergonne_point.html

☆ AE＝AF＝a，BF＝BD＝b，CD＝CE＝c とすれば、△PBC：△PCA：△PAB＝bc：ca：ab になります。

きれいな式になるんだ♪

ちなみにわたしの...どうも...メネラウスやチェバは使いこなせない...^^;...

△PBC=(1/3)*(4/(3*(6/9)+4)=2/9
△PCA=(3/7)*(6/(3*(4/7)+6)=3/9
△PAB=1-(2+3)/9=4/9
2:3:4 

4102：割安...

問題4102・・・算数にチャレンジ！！http://www.sansu.org/ より Orz〜

あるお店では、鉛筆を売るのに、（　ア　）本までは１本あたり（　イ　）円で販売し、それを超えた分については１本あたり（　ウ　）円で販売しているそうです。いま、


マサルさんがこのお店で鉛筆を４０本買ったところ、代金は１８００円
トモエさんがこのお店で鉛筆を５０本買ったところ、代金は２２２９円
ツヨシくんがこのお店で鉛筆を８０本買ったところ、代金は３４８９円

であったそうです。

このとき、（　ア　）にあてはまる数を答えてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・Ｍｒ.ダンディさんのもの Orz〜

2229−1800　が 50-40＝10の倍数でないので、40＜ア＜50 
(3489-2229)/30＝42　より、ウ＝42 
40本はイの値段より　イ＝1800/40＝45　（円） 
（45*50−2229）/（45-42）＝7 
50本以下で、42円が7本　⇒45円は43本 

・ma-mu-taさんのもの Orz〜

80本と50本の代金の差から、(ウ)＝(3489−2229)÷(80−50)＝42 
50本と40本の差10本の1本当たりは(2229−1800)÷(50−40)＝42.9となるから、 
40本買った場合の1本あたりの金額は(イ)円と分かる。すると、(イ)＝1800÷40＝45 
あとはつるかめ算で、50本買ったとき、 
50本全部が42円だとすると実際の代金との差は2229−42×50＝129 
42円と45円を1本ずつ取り替えると3円ずつ増えるので、 
129円増やすには、129÷3＝43本取り替えればよいことになり、45円の鉛筆は43本。 
つまり、(ア）＝43

*これは算数じゃこうなるわけね♪