アットランダム≒ブリコラージュ

4108：直方体の断面積...

問題4108・・・浮浪の館 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

なるほどぉ♪

・なかさんのもの Orz〜

√を使わない方法

直方体の対角線ＢＨは２４ｃｍ。
そして、ＢＡ＋ＤＨ＝２４ｃｍと、ＢＨ等しい。（ここがみそ）
そこで、
三角形ＡＢＩをＢＩを軸に黄色い平面上まで回転し、
三角形ＨＤＩをＨｉを軸に黄色い平面上まで回転すると、
ちょうど黄色の半分の三角形ＢＩＨと一致するではありませんか。
結局、黄色＝８×８＋８×１６＝１９２に。

華麗!!...お気に入り♪

・uchinyanさんのもの Orz〜

うまく変形すれば
(16 * 16 - 8 * 8 * 1/2 - 8 * 16) * 2
= 8 * 12 * 2
= 192 cm^2

巧く変形できなかった...わたしの...^^;...

底辺 8√2、斜辺 8√5 の二等辺三角形２個とわかるので...
高さ 12√2 とわかり...
12√2*8√2=96*2=192

なはっ...^^;v

4107：3点のx座標...

問題4107・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23493817.html より Orz〜

0＜a＜b＜c，n＞1 として、座標平面上の３点(a，aⁿ)，(b，bⁿ)，(c，cⁿ)を

頂点とする三角形の面積をS(n)とします。

S(2)＝3 ，S(3)＝30 ，S(4)＝207 のとき、(a，b，c)＝？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23609668.html より Orz〜

　S(n)は２つのベクトル(b−a，bⁿ−aⁿ)，(c−a，cⁿ−aⁿ)で作られる三角形の面積で、
2S(n)＝(b−a)(cⁿ−aⁿ)−(bⁿ−aⁿ)(c−a)
＝aⁿ(c−b)−a(cⁿ−bⁿ)＋bc(c^n-1−b^n-1) だから、
2S(2)＝a²(c−b)−a(c²−b²)＋bc(c−b)
＝(c−b)(b−a)(c−a)＝2･3 、
2S(3)＝a³(c−b)−a(c³−b³)＋bc(c²−b²)
＝(c−b)(b−a)(c−a)(a＋b＋c)＝2･30 、
2S(4)＝a⁴(c−b)−a(c⁴−b⁴)＋bc(c³−b³)
＝(c−b)(b−a)(c−a){(a＋b＋c)²−(bc＋ca＋ab)}＝2･207 
となって、
(c−b)(b−a)(c−a)＝6 ，a＋b＋c＝10 ，(a＋b＋c)²−(bc＋ca＋ab)＝69 で、
bc＋ca＋ab＝31 になります。
ここで、b＝a＋p ，c＝b＋q ，c＝a＋r とおくと、p＞0，q＞0，r＝p＋q で、
(c−b)(b−a)(c−a)＝6 より、pqr＝6 、
a＋b＋c＝10 より、(b−p)＋b＋(c＋q)＝10 、3b＝10＋p−q 、
bc＋ca＋ab＝b(a＋b＋c)＋ca−b²＝10b＋(b−p)(b＋q)−b²
＝3b(10−p＋q)/3−pq＝(10＋p−q)(10−p＋q)/3−pq＝{100−(p−q)²}/3−pq＝31
となって、
100−(p−q)²−3pq＝93 、(p−q)²＋3pq−7＝0 、
(p＋q)²−pq−7＝0 、(p＋q)²r−pqr−7r＝0 、
r³−7r−6＝0 、(r＋1)(r＋2)(r−3)＝0 、
r＞0 だから、r＝3 ，p＋q＝3 ，pq＝2 となります。
よって、(p，q)＝(1，2)，(2，1)、3b＝10＋p−q ，a＝b−p ，c＝b＋q だから、
(p，q)＝(1，2) のとき、(a，b，c)＝(2，3，5)、
(p，q)＝(2，1) のとき、(a，b，c)＝(5/3，11/3，14/3) です。

[参考]

　(c−b)(b−a)(c−a)＝6 ，a＋b＋c＝10 ，bc＋ca＋ab＝31 を、(c−b)²(b−a)²(c−a)²＝36
として、対称性を重視して解くと次のようになります。
abc＝s とおくと、a，b，c は x³−10x²＋31x−s＝0 の解だから、
a³−10a²＋31a＝s になります。b，c についても同様です。
まず、bc＝31−a(b＋c)＝31−a(10−a)＝a²−10a＋31 です。
(b−a)(c−a)＝bc−a(b＋c)＋a²＝a²−10a＋31−a(10−a)＋a²＝3a²−20a＋31 、
(c−b)²＝(c＋b)²−4bc＝(10−a)²−4(a²−10a＋31)＝−3a²＋20a−24 、
(c−b)²(b−a)²(c−a)²
＝(−3a²＋20a−24)(3a²−20a＋31)²
＝−27a⁶＋540a⁵−4374a⁴＋18320a³−41747a²＋48980a−23064
＝−27(a³−10a²＋31a)²＋1580(a³−10a²＋31a)−23064
＝−27s²＋1580s−23064
よって、−27s²＋1580s−23064＝36 、27s²−1580s＋23100＝0 、
(s−30)(27s−770)＝0 、s＝30，770/27 です。
s＝30 のとき、
x³−10x²＋31x−30＝0 、(x−2)(x−3)(x−5)＝0 、x＝2，3，5
s＝770/27 のとき、
x³−10x²＋31x−770/27＝0 、(x−5/3)(x−11/3)(x−14/3)＝0 、x＝5/3，11/3，14/3
となって、小さい方から、a，b，c です。
考え方はスッキリしていますが、計算は大変ですね。

・uch*n*anさんのもの Orz〜

S(n) は，0 < a < b < c と，
n > 1 で y = x^n のグラフが x > 0 で下に凸より，台形の面積をもとにして，
S(n) = (a^n + c^n)(c - a)/2 - (b^n + a^n)(b - a)/2 - (c^n + b^n)(c - b)/2
= ((c^n - a^n)(b - a) - (b^n - a^n)(c - a))/2 
n が自然数ならば
= (b - a)(c - a)((c^(n-1) - b^(n-1)) + ... + (c - b)a^(n-2))/2
そこで，
S(2) = (b - a)(c - a)(c - b) = 6
S(3) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) = 60
S(4) = (b - a)(c - a)(c - b)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) = 414
(b - a)(c - a)(c - b) = 6，a + b + c = 10，ab + bc + ca = 10^2 - 414/6 = 31

ここで，b - a = x，c - b = y，a - c = z とおくと，x, y > 0，z < 0 で，
xyz = -6，x + y + z = 0，xy + yz + zx = - ((a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)) = -7
なので，x，y，z は次の t の三次方程式の解になります。
t^3 - 7t + 6 = 0，(t - 1)(t - 2)(t + 3) = 0，t = 1, 2, -3
これより，x, y > 0，z < 0 に注意し，a + b + c = 10 も使って，
b - a = x = 1, c - b = y = 2, a - c = z = -3 のとき (a,b,c) = (2,3,5)
b - a = x = 2, c - b = y = 1, a - c = z = -3 のとき (a,b,c) = (5/3,11/3,14/3)
になります。

*そっか...どうしたら、abc が求められるのか...思考停止になってしまってました...

わたしには...難問でした ^^;...Orz...

(a,a^n) と (c,c^n) を結ぶ直線とx=b の直線との交点のy座標-b^n が底辺で高さが c-a の三角形の面積で考えて...

直線AC：y-a^n={(c^n-a^n)/(c-a)}*(x-a)
x＝bのとき、
底辺={(c^n-a^n)/(c-a)}*(b-a)-(b^n-a^n)
高さ=c-a
2*△ABC=(c^n-a^n)(b-a)-(b^n-a^n)(c-a)

(c^2-a^2)(b-a)-(b^2-a^2)(c-a)
=(b-a)(c-a)(c+a-b-a)
=(b-a)(c-a)(c-b)
=2*3=6

(c^3-a^3)(b-a)-(b^3-a^3)(c-a)
=(b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2-b^2-ab-a^2)
=(b-a)(c-a)(c^2-b^2+ac-ab)
=(b-a)(c-a)(c-b)(c+b+a)
=2*30=60
a+b+c=10

(c^4-a^4)(b-a)-(b^4-a^4)(c-a)
=(b-a)(c-a){(c^2+a^2)(c+a)-(b^2+a^2)(b+a)}
=(b-a)(c-a)(c^3+ac^2+a^2c+a^3-b^3-ab^2-a^2b-a^3)
=(b-a)(c-a)(c^3-b^3+ac^2-ab^2-a^2b+a^2c)
=(b-a)(c-a){(c-b)(c^2+bc+b^2)+a(c-b)(c+b)+a^2(c-b)}
=(b-a)(c-a)(c-b)(c^2+bc+b^2+ac+ab+a^2)
=2*207=414

c^2+bc+b^2+ac+ab+a^2
=c^2+b^2+(b+a)(c+a)
=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)
=69

ab+bc+ca=100-69=31
(b-a)(c-a)(c-b)=6
a+b+c=10

ここからが解けなかったぁ...^^;;;...