アットランダム≒ブリコラージュ

4119：二等辺三角形になる時刻...

問題4119・・・浮浪の館 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

上記サイト より Orz〜

*わたしの...同じです...

不思議ですねぇ...
60+x=(180-x)/2...x=20
(180-x)/2=2(60-x)...x=20

130*(30-20)/(30+20)=26

4118：艮(うしとら)への行き方...

問題4118(友人問)

車で100km離れた北東にある目的地に向かう。

出発してから目的地へ到着するまでの間、車の鼻先が一度も北東を向くことなく

進むことは可能でしょうか。

（南西へひたすら走り地球を一周するのはだめです）

解答

・わたしの

頓智みたいな問題だけど...^^;

正方形に描いた1/4円に沿って進んでも...平均値の定理で北東を向いちゃう...

だったら...目的地の少し西か、南を目指して一直線に進み...

そこで、反時計回りに回ってそれぞれ東に、北に向いて到着できる...ってのは...?...^^v

これでいいなら...

同じことですが...

最初に、少し北に向かい or 少しだけ東に向かい、そこで反時計回りに回って目的地を目指せばやはり北東ではなくなってる ♪

いずれにしても、反時計回りに回らなくっちゃ行けないんだけど...^^;

・友人からのもの

よほど変な運転をしない限り、タイヤは連続で微分可能な(なめらかな)軌跡を残すと考えられますから、「平均値の定理」を適用できそうに思えます。「平均値の定理」を適用すると、出発してから目的地に到着するまでの間に、少なくとも1回は自動車が北東の方角を向く瞬間があるはずで、答は「不可能」となりそうです。

しかし、実際には「可能」です。正解例は下図のようなルートです。

スタートとゴールを結ぶ直線に対して平行かつルートに接する直線が１本引けるので、これを直線Aとします。このルートで、一度も自動車は鼻先を北東には向けていませんが、反対方向の南西には一度だけ向いています。(直線Aとの接点)。「平均値の定理」では、接線の傾きを考えているだけで、逆向きかどうかは問わないのですね。

*わたしのと似てるけど...最後には北東を向いちゃってるような気がするんだけど...^^;?

4117：線分の長さ...

問題4117・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23629791.html より Orz〜

　図のように、AB＝1，AC＝√3，∠BAC＝90ﾟ の ∠BAC 内に点Ｍ,Ｎをとって、

　∠MAC＝∠NAB＝30ﾟ，∠MCA＝10ﾟ，∠NBA＝20ﾟ になるように△MAC,△NAB を作ります。
このとき、線分MNの長さを □cos10ﾟ−√□ の形で表すと？

必要であれば、sin3θ＝4sinθsin(60ﾟ＋θ)sin(60ﾟ−θ) を公式として使って下さい。

ヒント ： AB＝2sin30ﾟ，AC＝2sin60ﾟ です。

ヒントと正弦定理を使ってみて下さいね。

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23752853.html より Orz〜

　AB＝1＝2sin30ﾟ＝8sin10ﾟsin(60ﾟ＋10ﾟ)sin(60ﾟ−10ﾟ)＝8sin10ﾟsin70ﾟsin50ﾟ 、

AC＝√3＝2sin60ﾟ＝8sin20ﾟsin(60ﾟ＋20ﾟ)sin(60ﾟ−20ﾟ)＝8sin20ﾟsin80ﾟsin40ﾟ です。

△NABにおいて、正弦定理より、AN/sin20ﾟ＝AB/sin50ﾟ だから

AN＝ABsin20ﾟ/sin50ﾟ＝8sin10ﾟsin20ﾟsin70ﾟ 、

△MACにおいて、正弦定理より、AM/sin10ﾟ＝AC/sin40ﾟ だから

AM＝ACsin10ﾟ/sin40ﾟ＝8sin10ﾟsin20ﾟsin80ﾟ 、

簡単のため、8sin10ﾟsin20ﾟ＝k とおけば、AN＝k･cos20ﾟ，AM＝k･cos10ﾟ です。

△AMNにおいて、余弦定理より、

MN²＝k²cos²20ﾟ＋k²cos²10ﾟ−2k²cos20ﾟcos10ﾟcos30ﾟ

＝k²{1/2＋(cos40ﾟ)/2＋1/2＋(cos20ﾟ)/2−(cos30ﾟ＋cos10ﾟ)cos30ﾟ}

＝k²{1＋(cos40ﾟ＋cos20ﾟ)/2−(cos30ﾟ＋cos10ﾟ)cos30ﾟ}

＝k²(1＋cos30ﾟcos10ﾟ−cos²30ﾟ−cos10ﾟcos30ﾟ)＝k²/4 、

MN²＝k/2＝4sin10ﾟsin20ﾟ＝−2(cos30ﾟ−cos10ﾟ)＝2cos10ﾟ−√3 になります。


[参考1] sin3θ＝4sinθsin(60ﾟ＋θ)sin(60ﾟ−θ) の証明

sin3θ＝sin(θ＋2θ)＝sinθcos2θ＋cosθsin2θ＝sinθcos2θ＋2sinθcos<SUR>2</SUR>θ

＝sinθcos2θ＋sinθ(1＋cos2θ)＝sinθ(1＋2cos2θ)＝2sinθ(cos60ﾟ＋cos2θ)

＝2sinθ･2cos(30ﾟ−θ)cos(30ﾟ＋θ)＝4sinθsin(60ﾟ＋θ)sin(60ﾟ−θ)


[参考2]

AN：AM＝sin70ﾟ：sin80ﾟ で ∠NAM＝30ﾟ です。

∠D＝30ﾟ，∠E＝80ﾟ，∠F＝70ﾟ の 直径が1の円に内接する△DEF を作ると、

DE＝sin70ﾟ，DF＝sin80ﾟ，EF＝sin30ﾟ だから、

AN：AM＝DE：DF，∠NAM＝∠EDF となって、△ANM∽△DEF です。

相似比は 8sin10ﾟsin20ﾟ：1 、従って MN＝8sin10ﾟsin20ﾟsin30ﾟ＝4sin10ﾟsin20ﾟ です。


[参考3]

図のように、一般に、

∠A＝3α，∠B＝3β，∠C＝3γ の △ABC の内角の３等分線の交点で△LMN を作ります。

当然、α＋β＋γ＝60ﾟ です。

外接円の半径を R とすれば、

AB＝2Rsin3γ＝8Rsinγsin(60ﾟ＋γ)sin(60ﾟ−γ) 、

△NABにおいて、正弦定理より、AN/sinβ＝AB/sin(α＋β) だから

AN＝ABsinβ/sin(α＋β)＝ABsinβ/sin(60ﾟ−γ)＝8Rsinβsinγsin(60ﾟ＋γ) になります。

△MACで同様にして、AM＝8Rsinβsinγsin(60ﾟ＋β) を得ます。

よって、AN：AM＝sin(60ﾟ＋γ)：sin(60ﾟ＋β) で ∠NAM＝α です。

ここで、∠D＝α，∠E＝60ﾟ＋β，∠F＝60ﾟ＋γ の 直径が1の円に内接する△DEF を作ると、

DE＝sin(60ﾟ＋γ)，DF＝sin(60ﾟ＋β)，EF＝sinα だから、

AN：AM＝DE：DF，∠NAM＝∠EDF となって、△ANM∽△DEF です。

相似比は 8Rsinβsinγ：1 、従って MN＝8Rsinαsinβsinγ です。

同様に、LN＝LM＝8Rsinαsinβsinγ で、△LMN は必ず正三角形になります。

これが、知る人ぞ知るモーリーの定理です。

・uch*n*anさんのもの Orz〜

最初は，やることは比較的単純ですが計算が大変でした。
以下では単位の「°」を省略して，概略を書いておくと．．．
まず，正弦定理より，AM = √3 * sin10/sin40，AN = sin20/sin50，を出し，
次に，余弦定理より，
MN^2 = (3 * (sin10sin50)^2 + (sin20sin40)^2 - 3 * sin10sin50sin20sin40)/(sin40sin50)^2 
ここで，x = cos20 とおいて，与えられた公式他の三角関数の公式と，
cos60 = 4 * (cos20)^3 - 3 * cos20，8x^3 - 6x - 1 = 0
を駆使すると，
MN^2 = - 8x^2 - 2x + 9

さらに，t = cos10 とおき，
x = cos20 = 2 * (cos10)^2 - 1 = 2t^2 - 1
√3/2 = cos30 = 4 * (cos10)^3 - 3 * cos10，8t^3 - 6t - √3 = 0
を駆使して，
MN^2 = 4t^2 - 4√3 * t + 3= (2t - √3)^2
MN = 2 * cos10 - √3 = 0.237564…

*みなさんさすがに凄い!!...

わたしにゃ無理難題でしたぁ~~~^^;...

モーリーの定理の証明って見たことなかったけど...三角形の６０°絡みの美しい定理ってまだ隠されてるかもしれませんね...誰がそのベールを脱がせるんだろ...^^v